論文の概要: Conditional regression for the Nonlinear Single-Variable Model

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.09686v1
• Date: Thu, 14 Nov 2024 18:53:51 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-15 15:25:16.004806
• Title: Conditional regression for the Nonlinear Single-Variable Model
• Title（参考訳）: 非線形単変数モデルの条件回帰
• Authors: Yantao Wu, Mauro Maggioni,
• Abstract要約: F(X):=f(Pi_gamma):mathbbRdto[0,rmlen_gamma]$ ここで$Pi_gamma: [0,rmlen_gamma]tomathbbRd$と$f:[0,rmlen_gamma]tomathbbR1$を考える。 条件回帰に基づく非パラメトリック推定器を提案し、$one$-dimensionalOptimical min-maxレートを実現できることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.565636963872865
• License:
• Abstract: Several statistical models for regression of a function $F$ on $\mathbb{R}^d$ without the statistical and computational curse of dimensionality exist, for example by imposing and exploiting geometric assumptions on the distribution of the data (e.g. that its support is low-dimensional), or strong smoothness assumptions on $F$, or a special structure $F$. Among the latter, compositional models assume $F=f\circ g$ with $g$ mapping to $\mathbb{R}^r$ with $r\ll d$, have been studied, and include classical single- and multi-index models and recent works on neural networks. While the case where $g$ is linear is rather well-understood, much less is known when $g$ is nonlinear, and in particular for which $g$'s the curse of dimensionality in estimating $F$, or both $f$ and $g$, may be circumvented. In this paper, we consider a model $F(X):=f(\Pi_\gamma X) $ where $\Pi_\gamma:\mathbb{R}^d\to[0,\rm{len}_\gamma]$ is the closest-point projection onto the parameter of a regular curve $\gamma: [0,\rm{len}_\gamma]\to\mathbb{R}^d$ and $f:[0,\rm{len}_\gamma]\to\mathbb{R}^1$. The input data $X$ is not low-dimensional, far from $\gamma$, conditioned on $\Pi_\gamma(X)$ being well-defined. The distribution of the data, $\gamma$ and $f$ are unknown. This model is a natural nonlinear generalization of the single-index model, which corresponds to $\gamma$ being a line. We propose a nonparametric estimator, based on conditional regression, and show that under suitable assumptions, the strongest of which being that $f$ is coarsely monotone, it can achieve the $one$-$dimensional$ optimal min-max rate for non-parametric regression, up to the level of noise in the observations, and be constructed in time $\mathcal{O}(d^2n\log n)$. All the constants in the learning bounds, in the minimal number of samples required for our bounds to hold, and in the computational complexity are at most low-order polynomials in $d$.
• Abstract（参考訳）: 例えば、データの分布に関する幾何的仮定(例えば、そのサポートが低次元であるような)や、$F$の強い滑らかさ仮定、あるいは特別な構造である$F$を具現化して利用することで、次元性の統計的および計算的呪いのない函数の回帰に対するいくつかの統計モデルが存在する。 後者のうち、合成モデルは$F=f\circ g$と$g$を$\mathbb{R}^r$と$r\ll d$と仮定し、古典的なシングルインデックスモデルやマルチインデックスモデルを含む。 g$ が線型である場合はかなりよく理解されているが、$g$ が非線形であるとき、特に$g$ が$F$ を推定する次元の呪いである場合や$f$ と $g$ の両方を回避できる場合の方がずっと少ない。 本稿では、モデル $F(X):=f(\Pi_\gamma X) $ where $\Pi_\gamma:\mathbb{R}^d\to[0,\rm{len}_\gamma]$ を正則曲線 $\gamma: [0,\rm{len}_\gamma]\to\mathbb{R}^d$ および $f:[0,\rm{len}_\gamma]\to\mathbb{R}^1$ のパラメータへの最も近い点射影とする。 入力データ$X$は、$\Pi_\gamma(X)$に条件付きである$\gamma$から遠く離れた低次元ではない。 データの分布$\gamma$と$f$は不明だ。 このモデルは、直線である$\gamma$に対応するシングルインデックスモデルの自然な非線形一般化である。 条件付き回帰に基づく非パラメトリック推定器を提案し、適切な仮定の下では、$f$が粗い単調であることから、非パラメトリック回帰に対して$one$-$dimensional$ min-maxレートを達成でき、観測のノイズレベルまで到達でき、時間$$\mathcal{O}(d^2n\log n)$で構築できることを示す。 学習バウンダリのすべての定数、そのバウンダリの保持に必要な最小のサンプル数、計算複雑性は、少なくとも$d$の低次多項式である。

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