論文の概要: Generating Rectifiable Measures through Neural Networks

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2412.05109v1
• Date: Fri, 06 Dec 2024 15:10:04 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-12-09 15:56:52.789668
• Title: Generating Rectifiable Measures through Neural Networks
• Title（参考訳）: ニューラルネットワークによる予測可能な尺度の生成
• Authors: Erwin Riegler, Alex Bühler, Yang Pan, Helmut Bölcskei,
• Abstract要約: 我々は、(可算)$m$-rectifiable measuresのクラスに対する普遍近似結果を得る。 我々はこの結果を数えきれない$m$-rectible measureに拡張し、このレートがなおもretifiability parameter $m$と等しいことを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.974852803981997
• License:
• Abstract: We derive universal approximation results for the class of (countably) $m$-rectifiable measures. Specifically, we prove that $m$-rectifiable measures can be approximated as push-forwards of the one-dimensional Lebesgue measure on $[0,1]$ using ReLU neural networks with arbitrarily small approximation error in terms of Wasserstein distance. What is more, the weights in the networks under consideration are quantized and bounded and the number of ReLU neural networks required to achieve an approximation error of $\varepsilon$ is no larger than $2^{b(\varepsilon)}$ with $b(\varepsilon)=\mathcal{O}(\varepsilon^{-m}\log^2(\varepsilon))$. This result improves Lemma IX.4 in Perekrestenko et al. as it shows that the rate at which $b(\varepsilon)$ tends to infinity as $\varepsilon$ tends to zero equals the rectifiability parameter $m$, which can be much smaller than the ambient dimension. We extend this result to countably $m$-rectifiable measures and show that this rate still equals the rectifiability parameter $m$ provided that, among other technical assumptions, the measure decays exponentially on the individual components of the countably $m$-rectifiable support set.
• Abstract（参考訳）: 我々は、(可算)$m$-rectifiable measuresのクラスに対する普遍近似結果を得る。 具体的には,1次元ルベーグ測度を1次元で[0,1]$のReLUニューラルネットワークを用いて,ワッサーシュタイン距離の近似誤差を任意に小さくすることで,$m$補正可能な測度を1次元ルベーグ測度のプッシュフォワードとして近似できることを示す。 さらに、検討中のネットワークの重みは量子化および有界化され、近似誤差が$\varepsilon$のReLUニューラルネットワークの数は$2^{b(\varepsilon)$と$b(\varepsilon)=\mathcal{O}(\varepsilon^{-m}\log^2(\varepsilon))$である。 この結果は、Perekrestenko et al の Lemma IX.4 を改善し、$b(\varepsilon)$ が無限大になる傾向にあることを示す。 この結果は数えきれない$m$整合性測度にまで拡張され、他の技術的仮定と同様に、この測度が数え切れない$m$整合性支持集合の個々の成分に指数関数的に減衰することを仮定して、この速度が依然として再整合性パラメータ$m$と等しいことを示す。

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