論文の概要: Scalable Sobolev IPM for Probability Measures on a Graph

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2502.00737v1
• Date: Sun, 02 Feb 2025 10:14:53 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-02-05 15:04:08.140721
• Title: Scalable Sobolev IPM for Probability Measures on a Graph
• Title（参考訳）: グラフ上の確率測定のためのスケーラブルソボレフIPM
• Authors: Tam Le, Truyen Nguyen, Hideitsu Hino, Kenji Fukumizu,
• Abstract要約: グラフ距離空間上での確率測度に対するソボレフIPM問題について検討する。 グラフ構造を利用して、正規化されたソボレフIPMが高速な計算のためにエンフローズドフォーム表現を提供することを示した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 26.28795508071077
• License:
• Abstract: We investigate the Sobolev IPM problem for probability measures supported on a graph metric space. Sobolev IPM is an important instance of integral probability metrics (IPM), and is obtained by constraining a critic function within a unit ball defined by the Sobolev norm. In particular, it has been used to compare probability measures and is crucial for several theoretical works in machine learning. However, to our knowledge, there are no efficient algorithmic approaches to compute Sobolev IPM effectively, which hinders its practical applications. In this work, we establish a relation between Sobolev norm and weighted $L^p$-norm, and leverage it to propose a \emph{novel regularization} for Sobolev IPM. By exploiting the graph structure, we demonstrate that the regularized Sobolev IPM provides a \emph{closed-form} expression for fast computation. This advancement addresses long-standing computational challenges, and paves the way to apply Sobolev IPM for practical applications, even in large-scale settings. Additionally, the regularized Sobolev IPM is negative definite. Utilizing this property, we design positive-definite kernels upon the regularized Sobolev IPM, and provide preliminary evidences of their advantages on document classification and topological data analysis for measures on a graph.
• Abstract（参考訳）: グラフ距離空間上での確率測度に対するソボレフIPM問題について検討する。 ソボレフIPMは積分確率測度(IPM)の重要な例であり、ソボレフノルムで定義される単位球内の批判関数を制約することによって得られる。 特に、確率測度を比較するために用いられており、機械学習におけるいくつかの理論的研究に不可欠である。 しかし、我々の知る限り、Sobolev IPMを効果的に計算するための効率的なアルゴリズムアプローチは存在しない。 本研究では、ソボレフノルムと重み付き$L^p$-ノルムの関係を確立し、それを利用してソボレフ IPM に対する 'emph{novel regularization} を提案する。 グラフ構造を利用して、正規化されたソボレフ IPM が高速な計算のために \emph{closed-form} 式を提供することを示した。 この進歩は、長期間にわたる計算課題に対処し、大規模な設定でも、実用用途にSobolev IPMを適用するための道を開く。 さらに、正則化されたソボレフIPMは負定値である。 この特性を利用して、正定値カーネルを正規化されたソボレフIPM上に設計し、グラフ上の測度に対する文書分類とトポロジカルデータ解析におけるそれらの利点の予備的証拠を提供する。

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