論文の概要: Statistical Efficiency of Score Matching: The View from Isoperimetry
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2210.00726v1
- Date: Mon, 3 Oct 2022 06:09:01 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2022-10-04 14:42:23.690411
- Title: Statistical Efficiency of Score Matching: The View from Isoperimetry
- Title（参考訳）: スコアマッチングの統計的効率:イソペリメトリの観点から
- Authors: Frederic Koehler, Alexander Heckett, Andrej Risteski
- Abstract要約: 本研究では, スコアマッチングの統計的効率と推定される分布の等尺性との間に, 密接な関係を示す。
これらの結果はサンプル状態と有限状態の両方で定式化する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 96.65637602827942
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Deep generative models parametrized up to a normalizing constant (e.g.
energy-based models) are difficult to train by maximizing the likelihood of the
data because the likelihood and/or gradients thereof cannot be explicitly or
efficiently written down. Score matching is a training method, whereby instead
of fitting the likelihood $\log p(x)$ for the training data, we instead fit the
score function $\nabla_x \log p(x)$ -- obviating the need to evaluate the
partition function. Though this estimator is known to be consistent, its
unclear whether (and when) its statistical efficiency is comparable to that of
maximum likelihood -- which is known to be (asymptotically) optimal. We
initiate this line of inquiry in this paper, and show a tight connection
between statistical efficiency of score matching and the isoperimetric
properties of the distribution being estimated -- i.e. the Poincar\'e,
log-Sobolev and isoperimetric constant -- quantities which govern the mixing
time of Markov processes like Langevin dynamics. Roughly, we show that the
score matching estimator is statistically comparable to the maximum likelihood
when the distribution has a small isoperimetric constant. Conversely, if the
distribution has a large isoperimetric constant -- even for simple families of
distributions like exponential families with rich enough sufficient statistics
-- score matching will be substantially less efficient than maximum likelihood.
We suitably formalize these results both in the finite sample regime, and in
the asymptotic regime. Finally, we identify a direct parallel in the discrete
setting, where we connect the statistical properties of pseudolikelihood
estimation with approximate tensorization of entropy and the Glauber dynamics.
- Abstract（参考訳）: 正規化定数(例えばエネルギーベースモデル)までパラメータ化された深層生成モデルは、その可能性や勾配を明示的にあるいは効率的に記述できないため、データの可能性を最大化することで訓練が困難である。
スコアマッチングはトレーニング方法であり、トレーニングデータに$\log p(x)$を適合させる代わりに、スコア関数$\nabla_x \log p(x)$ -- 分割関数を評価する必要がなくなる。この推定器が一貫性があることは知られているが、その統計的効率が最大確率の値に匹敵するかどうか(そしていつ)は、(漸近的に)最適であることが知られている。
We initiate this line of inquiry in this paper, and show a tight connection between statistical efficiency of score matching and the isoperimetric properties of the distribution being estimated -- i.e. the Poincar\'e, log-Sobolev and isoperimetric constant -- quantities which govern the mixing time of Markov processes like Langevin dynamics. Roughly, we show that the score matching estimator is statistically comparable to the maximum likelihood when the distribution has a small isoperimetric constant. Conversely, if the distribution has a large isoperimetric constant -- even for simple families of distributions like exponential families with rich enough sufficient statistics -- score matching will be substantially less efficient than maximum likelihood.
これらの結果を有限サンプルレジームと漸近レジームの両方で適切に定式化する。
最後に、離散的な設定における直接平行性を同定し、擬似同型推定の統計的性質をエントロピーの近似テンソル化とグラウバー力学とを結びつける。
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