論文の概要: Detecting Arbitrary Planted Subgraphs in Random Graphs
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.19069v1
- Date: Mon, 24 Mar 2025 18:54:43 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-03-26 16:53:23.973470
- Title: Detecting Arbitrary Planted Subgraphs in Random Graphs
- Title（参考訳）: ランダムグラフにおける任意植え付け部分グラフの検出
- Authors: Dor Elimelech, Wasim Huleihel,
- Abstract要約: 本稿では,ErdHos-R'enyi乱数グラフ$mathcalG(n, q_n)$における仮設植木部分グラフ$Gamma = Gamma_n$の検出について検討する。
エッジ確率が$p_n$と$q_n$が固定された高密度な状態では、Gamma$を検出するための情報理論および計算しきい値が強く特徴付けられる。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 7.320365821066746
- License:
- Abstract: The problems of detecting and recovering planted structures/subgraphs in Erd\H{o}s-R\'{e}nyi random graphs, have received significant attention over the past three decades, leading to many exciting results and mathematical techniques. However, prior work has largely focused on specific ad hoc planted structures and inferential settings, while a general theory has remained elusive. In this paper, we bridge this gap by investigating the detection of an \emph{arbitrary} planted subgraph $\Gamma = \Gamma_n$ in an Erd\H{o}s-R\'{e}nyi random graph $\mathcal{G}(n, q_n)$, where the edge probability within $\Gamma$ is $p_n$. We examine both the statistical and computational aspects of this problem and establish the following results. In the dense regime, where the edge probabilities $p_n$ and $q_n$ are fixed, we tightly characterize the information-theoretic and computational thresholds for detecting $\Gamma$, and provide conditions under which a computational-statistical gap arises. Most notably, these thresholds depend on $\Gamma$ only through its number of edges, maximum degree, and maximum subgraph density. Our lower and upper bounds are general and apply to any value of $p_n$ and $q_n$ as functions of $n$. Accordingly, we also analyze the sparse regime where $q_n = \Theta(n^{-\alpha})$ and $p_n-q_n =\Theta(q_n)$, with $\alpha\in[0,2]$, as well as the critical regime where $p_n=1-o(1)$ and $q_n = \Theta(n^{-\alpha})$, both of which have been widely studied, for specific choices of $\Gamma$. For these regimes, we show that our bounds are tight for all planted subgraphs investigated in the literature thus far\textemdash{}and many more. Finally, we identify conditions under which detection undergoes sharp phase transition, where the boundaries at which algorithms succeed or fail shift abruptly as a function of $q_n$.
- Abstract（参考訳）: Erd\H{o}s-R\'{e}nyiランダムグラフにおける植木構造やグラフの検出と回収の問題は、過去30年間に大きな注目を集め、多くのエキサイティングな結果と数学的テクニックをもたらした。
しかし、先行研究は主に特定のアドホックな植林構造と推論設定に焦点を合わせており、一般的な理論はいまだに解明されていない。
本稿では、Erd\H{o}s-R\'{e}nyi random graph $\mathcal{G}(n, q_n)$ における \emph{arbitrary} 植木部分グラフ $\Gamma = \Gamma_n$ の検出を調査することにより、このギャップを埋める。
本稿では,この問題の統計的側面と計算的側面について検討し,以下の結果を得た。
エッジ確率が$p_n$と$q_n$が固定された高密度な状態では、$\Gamma$を検出するための情報理論および計算しきい値が厳しく特徴付けられ、計算統計的ギャップが発生する条件を提供する。
特に、これらの閾値は、エッジの数、最大度、最大部分グラフ密度によってのみ$\Gamma$に依存する。
我々の下限と上限は一般であり、$n$の関数として$p_n$と$q_n$の任意の値に適用できる。
したがって、$q_n = \Theta(n^{-\alpha})$および$p_n-q_n =\Theta(q_n)$, with $\alpha\in[0,2]$, $q_n=1-o(1)$, $q_n = \Theta(n^{-\alpha})$といったスパース体制も解析する。
これらのレジームに対して、我々の境界は、これまでの文献『textemdash{} 』およびその他多くの文献で研究されているすべての植木部分グラフに対して厳密であることを示す。
最後に、検出が急激な位相遷移を経る条件を特定し、アルゴリズムが成功するか失敗するかのバウンダリが、q_n$の関数として突然シフトする。
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