論文の概要: Nonparametric MLE for Gaussian Location Mixtures: Certified Computation and Generic Behavior

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.20193v1
• Date: Wed, 26 Mar 2025 03:36:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-27 13:18:06.641792
• Title: Nonparametric MLE for Gaussian Location Mixtures: Certified Computation and Generic Behavior
• Title（参考訳）: ガウス的位置混合のための非パラメトリックMLE:認証計算とジェネリック挙動
• Authors: Yury Polyanskiy, Mark Sellke,
• Abstract要約: 一次元のガウス的位置混合に対する非パラメトリック最大度推定器$widehatpi$について検討する。 We provide a algorithm that for small enough $varepsilon>0$ computes a $varepsilon$-approximation of $widehatpi in Wasserstein distance。 また、$k$-atomicと条件付けられた$widehatpi$の分布は、関連する2k-1$次元パラメータ空間上の密度を許容することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 28.71736321665378
• License:
• Abstract: We study the nonparametric maximum likelihood estimator $\widehat{\pi}$ for Gaussian location mixtures in one dimension. It has been known since (Lindsay, 1983) that given an $n$-point dataset, this estimator always returns a mixture with at most $n$ components, and more recently (Wu-Polyanskiy, 2020) gave a sharp $O(\log n)$ bound for subgaussian data. In this work we study computational aspects of $\widehat{\pi}$. We provide an algorithm which for small enough $\varepsilon>0$ computes an $\varepsilon$-approximation of $\widehat\pi$ in Wasserstein distance in time $K+Cnk^2\log\log(1/\varepsilon)$. Here $K$ is data-dependent but independent of $\varepsilon$, while $C$ is an absolute constant and $k=|supp(\widehat{\pi})|\leq n$ is the number of atoms in $\widehat\pi$. We also certifiably compute the exact value of $|supp(\widehat\pi)|$ in finite time. These guarantees hold almost surely whenever the dataset $(x_1,\dots,x_n)\in [-cn^{1/4},cn^{1/4}]$ consists of independent points from a probability distribution with a density (relative to Lebesgue measure). We also show the distribution of $\widehat\pi$ conditioned to be $k$-atomic admits a density on the associated $2k-1$ dimensional parameter space for all $k\leq \sqrt{n}/3$, and almost sure locally linear convergence of the EM algorithm. One key tool is a classical Fourier analytic estimate for non-degenerate curves.
• Abstract（参考訳）: 一次元のガウス的位置混合に対して、非パラメトリック最大度推定器 $\widehat{\pi}$ について検討する。 Lndsay, 1983) 以降、この推定器は常に$n$の成分の混合物を返し、より最近の (Wu-Polyanskiy, 2020) ではサブガウスデータに対して鋭い$O(\log n)$バウンドを与えたことが知られている。 本研究では,$\widehat{\pi}$の計算面について検討する。 我々は,小さければ$\varepsilon>0$が$\varepsilon$-approximation of $\widehat\pi$ in time $K+Cnk^2\log\log(1/\varepsilon)$を計算できるアルゴリズムを提供する。 ここで、$K$は$\varepsilon$とは独立であるが、$C$は絶対定数であり、$k=|supp(\widehat{\pi})|\leq n$は$\widehat\pi$の原子の数である。 また、f|supp(\widehat\pi)|$の正確な値を有限時間で計算する。 これらの保証は、データセット $(x_1,\dots,x_n)\in [-cn^{1/4},cn^{1/4}]$ が密度を持つ確率分布からの独立な点からなる場合、ほぼ確実に保持される。 また、$k$-atomicと条件付けられた$\widehat\pi$の分布は、すべての$k\leq \sqrt{n}/3$に対して、関連する2k-1$次元パラメータ空間上の密度を認め、EMアルゴリズムの局所線型収束をほぼ確実にすることを示す。 鍵となるツールの1つは、非退化曲線に対する古典的なフーリエ解析推定である。

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