論文の概要: Riemannian Optimization on Relaxed Indicator Matrix Manifold

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2503.20505v1
• Date: Wed, 26 Mar 2025 12:45:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-03-27 13:22:07.587448
• Title: Riemannian Optimization on Relaxed Indicator Matrix Manifold
• Title（参考訳）: Relaxed Indicator Matrix Manifold のリーマン最適化
• Authors: Jinghui Yuan, Fangyuan Xie, Feiping Nie, Xuelong Li,
• Abstract要約: インジケータ行列は機械学習において重要な役割を果たすが、最適化はNPハード問題である。 我々は、指標行列の新たな緩和を提案し、この緩和が多様体を形成することを証明し、それをRelaxed Indicator Matrix Manifold (RIM manifold) と呼ぶ。 RIM多様体をRatio Cutに適用し、最先端の手法より優れたクラスタリング結果を得る。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 83.13494760649874
• License:
• Abstract: The indicator matrix plays an important role in machine learning, but optimizing it is an NP-hard problem. We propose a new relaxation of the indicator matrix and prove that this relaxation forms a manifold, which we call the Relaxed Indicator Matrix Manifold (RIM manifold). Based on Riemannian geometry, we develop a Riemannian toolbox for optimization on the RIM manifold. Specifically, we provide several methods of Retraction, including a fast Retraction method to obtain geodesics. We point out that the RIM manifold is a generalization of the double stochastic manifold, and it is much faster than existing methods on the double stochastic manifold, which has a complexity of \( \mathcal{O}(n^3) \), while RIM manifold optimization is \( \mathcal{O}(n) \) and often yields better results. We conducted extensive experiments, including image denoising, with millions of variables to support our conclusion, and applied the RIM manifold to Ratio Cut, achieving clustering results that outperform the state-of-the-art methods. Our Code in \href{https://github.com/Yuan-Jinghui/Riemannian-Optimization-on-Relaxed-Indicator-Matrix-Manifold}{https://github.com/Yuan-Jinghui/Riemannian-Optimization-on-Relaxed-Indicator-Matrix-Manifold}.
• Abstract（参考訳）: インジケータ行列は機械学習において重要な役割を果たすが、最適化はNPハード問題である。 我々は、指標行列の新たな緩和を提案し、この緩和が多様体を形成することを証明し、それをRelaxed Indicator Matrix Manifold (RIM manifold) と呼ぶ。 リーマン幾何学に基づいて、RIM多様体上の最適化のためのリーマンツールボックスを開発する。 具体的には,測地線を得るための高速レトラクション法を含む,いくつかのリトラクション法を提案する。 RIM多様体は二重確率多様体の一般化であり、複素数 \( \mathcal{O}(n^3) \) を持ち、RIM多様体の最適化は \( \mathcal{O}(n) \) であり、しばしばより良い結果をもたらす二重確率多様体上の既存の方法よりもはるかに高速である。 画像のデノベーションを含む広範囲な実験を行い、数百万の変数を用いて結論を支持し、RIM多様体をRatio Cutに適用し、クラスタリングの結果を達成し、最先端の手法より優れた結果を得た。 我々のコード in \href{https://github.com/Yuan-Jinghui/Riemannian-Optimization-on-Relaxed-Indicator-Matrix-Manifold}{https://github.com/Yuan-Jinghui/Riemannian-Optimization-on-Relaxed-Indicator-Matrix-Manifold}。

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