論文の概要: Local Averaging Accurately Distills Manifold Structure From Noisy Data

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.18761v1
• Date: Mon, 23 Jun 2025 15:32:16 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-06-24 19:06:37.055882
• Title: Local Averaging Accurately Distills Manifold Structure From Noisy Data
• Title（参考訳）: 騒音データから高精度に希釈した局所平均化
• Authors: Yihan Shen, Shiyu Wang, Arnaud Lamy, Mariam Avagyan, John Wright,
• Abstract要約: 局所平均化(Local averaging)は、多様体のフィッティングとデノイングのための最先端の証明可能な手法の基盤である。 本稿では,$d$次元多様体から得られた雑音サンプルに対して,2ラウンドの局所平均化法について理論的に解析する。 提案手法は,低雑音環境向けに設計された幅広い証明可能な手法の事前処理ステップとして機能する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.63748375343038
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: High-dimensional data are ubiquitous, with examples ranging from natural images to scientific datasets, and often reside near low-dimensional manifolds. Leveraging this geometric structure is vital for downstream tasks, including signal denoising, reconstruction, and generation. However, in practice, the manifold is typically unknown and only noisy samples are available. A fundamental approach to uncovering the manifold structure is local averaging, which is a cornerstone of state-of-the-art provable methods for manifold fitting and denoising. However, to the best of our knowledge, there are no works that rigorously analyze the accuracy of local averaging in a manifold setting in high-noise regimes. In this work, we provide theoretical analyses of a two-round mini-batch local averaging method applied to noisy samples drawn from a $d$-dimensional manifold $\mathcal M \subset \mathbb{R}^D$, under a relatively high-noise regime where the noise size is comparable to the reach $\tau$. We show that with high probability, the averaged point $\hat{\mathbf q}$ achieves the bound $d(\hat{\mathbf q}, \mathcal M) \leq \sigma \sqrt{d\left(1+\frac{\kappa\mathrm{diam}(\mathcal {M})}{\log(D)}\right)}$, where $\sigma, \mathrm{diam(\mathcal M)},\kappa$ denote the standard deviation of the Gaussian noise, manifold's diameter and a bound on its extrinsic curvature, respectively. This is the first analysis of local averaging accuracy over the manifold in the relatively high noise regime where $\sigma \sqrt{D} \approx \tau$. The proposed method can serve as a preprocessing step for a wide range of provable methods designed for lower-noise regimes. Additionally, our framework can provide a theoretical foundation for a broad spectrum of denoising and dimensionality reduction methods that rely on local averaging techniques.
• Abstract（参考訳）: 高次元データは、自然画像から科学的なデータセットまで、ユビキタスであり、しばしば低次元多様体の近くに存在する。 この幾何学的構造を活用することは、信号の復調、再構成、生成を含む下流のタスクにとって不可欠である。 しかし実際には、多様体は典型的には未知であり、ノイズの多いサンプルのみが利用可能である。 多様体構造を明らかにするための基本的なアプローチは局所平均化(英語版)であり、これは多様体のフィッティングとデノイングのための最先端の証明可能な方法の基礎である。 しかし、我々の知る限りでは、高雑音状態の多様体における局所平均化の精度を厳密に解析する研究は存在しない。 本研究では,2ラウンドの局所平均化法を$d$次元多様体 $\mathcal M \subset \mathbb{R}^D$ の雑音サンプルに適用する理論解析を行う。 高確率で、平均点 $\hat{\mathbf q}$ が有界$d(\hat{\mathbf q}, \mathcal M) \leq \sigma \sqrt{d\left(1+\frac{\kappa\mathrm{diam}(\mathcal {M})}{\log(D)}\right)}$,$\sigma, \mathrm{diam(\mathcal M)},\kappa$ はガウスノイズの標準偏差、多様体の直径、外生曲率の有界値を表す。 これは、$\sigma \sqrt{D} \approx \tau$ という比較的高雑音状態における多様体上の局所平均精度の最初の解析である。 提案手法は,低雑音環境向けに設計された幅広い証明可能な手法の事前処理ステップとして機能する。 さらに,本フレームワークは,局所平均化技術に頼りながら,広帯域の騒音低減手法と次元低減手法の理論的基盤を提供することができる。

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