論文の概要: Noisy PDE Training Requires Bigger PINNs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.06967v1
• Date: Wed, 09 Jul 2025 15:58:26 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-07-10 17:37:43.651846
• Title: Noisy PDE Training Requires Bigger PINNs
• Title（参考訳）: ノイズの多いPDEトレーニングは、より大きなPINNを必要とする
• Authors: Sebastien Andre-Sloan, Anirbit Mukherjee, Matthew Colbrook,
• Abstract要約: PINNは騒音条件下では$sigma2$以下で経験的リスクを達成できることを示す。 ケーススタディとして、ハミルトン-ヤコビ・ベルマン(HJB)PDEに適用されたPINNについて検討する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.20482269513546453
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Physics-Informed Neural Networks (PINNs) are increasingly used to approximate solutions of partial differential equations (PDEs), especially in high dimensions. In real-world applications, data samples are noisy, so it is important to know when a predictor can still achieve low empirical risk. However, little is known about the conditions under which a PINN can do so effectively. We prove a lower bound on the size of neural networks required for the supervised PINN empirical risk to fall below the variance of noisy supervision labels. Specifically, if a predictor achieves an empirical risk $O(\eta)$ below $\sigma^2$ (variance of supervision data), then necessarily $d_N\log d_N\gtrsim N_s \eta^2$, where $N_s$ is the number of samples and $d_N$ is the number of trainable parameters of the PINN. A similar constraint applies to the fully unsupervised PINN setting when boundary labels are sampled noisily. Consequently, increasing the number of noisy supervision labels alone does not provide a ``free lunch'' in reducing empirical risk. We also show empirically that PINNs can indeed achieve empirical risks below $\sigma^2$ under such conditions. As a case study, we investigate PINNs applied to the Hamilton--Jacobi--Bellman (HJB) PDE. Our findings lay the groundwork for quantitatively understanding the parameter requirements for training PINNs in the presence of noise.
• Abstract（参考訳）: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)は偏微分方程式(PDE)の解を特に高次元で近似するためにますます使われている。 実世界のアプリケーションでは、データサンプルはノイズが多いため、予測者がまだ低い経験的リスクを達成できるかどうかを知ることが重要である。 しかし、PINNが効果的に行うことができる条件についてはほとんど分かっていない。 我々は、教師付きPINN実験のリスクがノイズの多い監視ラベルのばらつきを下回るのに必要なニューラルネットワークのサイズに、より低い境界があることを証明した。 具体的には、予測者が経験的リスク$O(\eta)$以下の$\sigma^2$に達した場合、必ずしも$d_N\log d_N\gtrsim N_s \eta^2$であり、$N_s$はサンプルの数、$d_N$はPINNのトレーニング可能なパラメータの数である。 境界ラベルがノイズにサンプリングされた場合、完全に教師なしのPINN設定にも同様の制約が適用される。 したがって、ノイズの多い監督ラベルの増加だけでは、経験的リスクを低減するために「フリーランチ」を提供しない。 また、これらの条件下では、PINNが実際に$\sigma^2$以下の経験的リスクを達成できることを実証的に示す。 ケーススタディとして、ハミルトン-ヤコビ-ベルマン(HJB)PDEに適用されたPINNについて検討する。 本研究は,ノイズの有無でPINNを訓練するためのパラメータ要件を定量的に把握するための基礎研究である。

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