論文の概要: Graph Lineages and Skeletal Graph Products

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.00197v1
• Date: Thu, 31 Jul 2025 22:31:34 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-04 18:08:53.681398
• Title: Graph Lineages and Skeletal Graph Products
• Title（参考訳）: グラフリニアジと骨格グラフ製品
• Authors: Eric Mjolsness, Cory B. Scott,
• Abstract要約: グラフ、および成長するグラフのシーケンスは、機械学習や計算科学を含む多くの分野における数学的モデルのアーキテクチャを特定するために使用することができる。 階層的に成長する構造化グラフ"線"を定義し、グラフ頂点とエッジの数がレベル数で指数関数的に増加するようにする。 本稿では, 深層ニューラルネットワーク(視覚的, 特徴的スケール空間を含む) や数値手法の乗算への応用を実演する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: Graphs, and sequences of growing graphs, can be used to specify the architecture of mathematical models in many fields including machine learning and computational science. Here we define structured graph "lineages" (ordered by level number) that grow in a hierarchical fashion, so that: (1) the number of graph vertices and edges increases exponentially in level number; (2) bipartite graphs connect successive levels within a graph lineage and, as in multigrid methods, can constrain matrices relating successive levels; (3) using prolongation maps within a graph lineage, process-derived distance measures between graphs at successive levels can be defined; (4) a category of "graded graphs" can be defined, and using it low-cost "skeletal" variants of standard algebraic graph operations and type constructors (cross product, box product, disjoint sum, and function types) can be derived for graded graphs and hence hierarchical graph lineages; (5) these skeletal binary operators have similar but not identical algebraic and category-theoretic properties to their standard counterparts; (6) graph lineages and their skeletal product constructors can approach continuum limit objects. Additional space-efficient unary operators on graded graphs are also derived: thickening, which creates a graph lineage of multiscale graphs, and escalation to a graph lineage of search frontiers (useful as a generalization of adaptive grids and in defining "skeletal" functions). The result is an algebraic type theory for graded graphs and (hierarchical) graph lineages. The approach is expected to be well suited to defining hierarchical model architectures - "hierarchitectures" - and local sampling, search, or optimization algorithms on them. We demonstrate such application to deep neural networks (including visual and feature scale spaces) and to multigrid numerical methods.
• Abstract（参考訳）: グラフと成長するグラフのシーケンスは、機械学習や計算科学を含む多くの分野における数学的モデルのアーキテクチャを特定するのに使うことができる。 ここでは、階層的に成長するグラフの「線数」(レベル数で順序付けされる)を定義し、(1)グラフ頂点とエッジの数が指数関数的にレベル数で増加し、(2)グラフ階層内の連続するレベルを連結し、多重化法において、連続するレベルに関する行列を制約することができる、(3)グラフ階層内の延長写像を用いて、連続するレベルのグラフ間のプロセス由来距離測度を定義できる、(4)標準グラフ演算とタイプコンストラクタ(クロス積、積、不随伴和、関数型)の低コストな「骨格」変種(クロス積、積、不随伴和、関数型)を使用することにより、グラフの階数と階層的グラフの階数に対して導出することができる。 階数グラフ上の余分な空間効率の高いユニタリ作用素も導出される: 肥大化は、マルチスケールグラフのグラフの系統を作り、探索フロンティアのグラフの系統にエスカレーションする(適応格子の一般化や「骨格」関数の定義に使用される)。 その結果は、階数グラフと(階層的な)グラフの系統に対する代数型理論である。 このアプローチは、階層型モデルアーキテクチャ("階層")とローカルサンプリング、検索、最適化アルゴリズムを定義するのに適していると期待されている。 本稿では, 深層ニューラルネットワーク(視覚的, 特徴的スケール空間を含む) や数値手法の乗算への応用を実演する。

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