論文の概要: Accelerating Conjugate Gradient Solvers for Homogenization Problems with Unitary Neural Operators

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.02681v1
• Date: Fri, 18 Jul 2025 08:58:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-10 09:30:49.310215
• Title: Accelerating Conjugate Gradient Solvers for Homogenization Problems with Unitary Neural Operators
• Title（参考訳）: ユニタリニューラル演算子を用いた等質化問題に対する共役勾配解の高速化
• Authors: Julius Herb, Felix Fritzen,
• Abstract要約: 機械学習型プレコンディショナーを用いて共役勾配解法(CG)を高速化するハイブリッド解法であるUNO-CGを導入する。 ヘテロジニアス組織と数百万自由度を含む様々な均質化問題に対するUNO-CGの評価を行った。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Rapid and reliable solvers for parametric partial differential equations (PDEs) are needed in many scientific and engineering disciplines. For example, there is a growing demand for composites and architected materials with heterogeneous microstructures. Designing such materials and predicting their behavior in practical applications requires solving homogenization problems for a wide range of material parameters and microstructures. While classical numerical solvers offer reliable and accurate solutions supported by a solid theoretical foundation, their high computational costs and slow convergence remain limiting factors. As a result, scientific machine learning is emerging as a promising alternative. However, such approaches often lack guaranteed accuracy and physical consistency. This raises the question of whether it is possible to develop hybrid approaches that combine the advantages of both data-driven methods and classical solvers. To address this, we introduce UNO-CG, a hybrid solver that accelerates conjugate gradient (CG) solvers using specially designed machine-learned preconditioners, while ensuring convergence by construction. As a preconditioner, we propose Unitary Neural Operators as a modification of Fourier Neural Operators. Our method can be interpreted as a data-driven discovery of Green's functions, which are then used to accelerate iterative solvers. We evaluate UNO-CG on various homogenization problems involving heterogeneous microstructures and millions of degrees of freedom. Our results demonstrate that UNO-CG enables a substantial reduction in the number of iterations and is competitive with handcrafted preconditioners for homogenization problems that involve expert knowledge. Moreover, UNO-CG maintains strong performance across a variety of boundary conditions, where many specialized solvers are not applicable, highlighting its versatility and robustness.
• Abstract（参考訳）: 多くの科学・工学分野においてパラメトリック偏微分方程式(PDE)の迅速かつ信頼性の高い解法が必要である。 例えば、複合材料やヘテロジニアスな構造を持つ構造材料への需要が高まっている。 このような材料を設計し、それらの挙動を実用的に予測するには、幅広い材料パラメータやミクロ構造に対する均質化問題を解く必要がある。 古典的な数値解法は、確固とした理論的基礎によって支えられる信頼性と正確な解を提供するが、その高い計算コストと緩やかな収束は制限要因のままである。 その結果、科学的な機械学習が有望な代替手段として浮上しつつある。 しかし、そのようなアプローチは精度と物理的な一貫性が保証されていないことが多い。 このことは、データ駆動手法と古典的解法の両方の利点を組み合わせたハイブリッドアプローチを開発できるかどうかという問題を提起する。 そこで本研究では,機械学習型プレコンディショナーを用いて共役勾配(CG)解法を高速化するハイブリッド解法UNO-CGを紹介する。 プリコンディショナーとして、フーリエニューラル演算子の修正としてユニタリニューラル演算子を提案する。 提案手法は,グリーン関数をデータ駆動で探索し,反復解法を高速化する手法として解釈することができる。 ヘテロジニアス組織と数百万自由度を含む様々な均質化問題に対するUNO-CGの評価を行った。 以上の結果から,UNO-CGは反復回数を大幅に減らし,専門知識を含む均質化問題に対する手作りプレコンディショナーと競合することを示す。 さらに、UNO-CGは、多くの特殊な解法が適用できない様々な境界条件で強い性能を維持しており、その汎用性と堅牢性を強調している。

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