論文の概要: Walk-on-Interfaces: A Monte Carlo Estimator for an Elliptic Interface Problem with Nonhomogeneous Flux Jump Conditions and a Neumann Boundary Condition

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.16767v1
• Date: Fri, 22 Aug 2025 19:56:23 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-08-26 18:43:45.168422
• Title: Walk-on-Interfaces: A Monte Carlo Estimator for an Elliptic Interface Problem with Nonhomogeneous Flux Jump Conditions and a Neumann Boundary Condition
• Title（参考訳）: ウォーク・オン・インタフェース:非均一なフラックスジャンプ条件とノイマン境界条件を持つ楕円界面問題に対するモンテカルロ推定器
• Authors: Xinwen Ding, Adam R Stinchcombe,
• Abstract要約: 楕円界面問題は、多くの科学的・工学的な応用に現れる。 非均一なフラックスジャンプ条件を持つノイマン楕円界面問題に対するグリッドフリーモンテカルロ推定器を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: Elliptic interface problems arise in numerous scientific and engineering applications, modeling heterogeneous materials in which physical properties change discontinuously across interfaces. In this paper, we present \textit{Walk-on-Interfaces} (WoI), a grid-free Monte Carlo estimator for a class of Neumann elliptic interface problems with nonhomogeneous flux jump conditions. Our Monte Carlo estimators maintain consistent accuracy throughout the domain and, thus, do not suffer from the well-known close-to-source evaluation issue near the interfaces. We also presented a simple modification with reduced variance. Estimation of the gradient of the solution can be performed, with almost no additional cost, by simply computing the gradient of the Green's function in WoI. Taking a scientific machine learning approach, we use our estimators to provide training data for a deep neural network that outputs a continuous representation of the solution. This regularizes our solution estimates by removing the high-frequency Monte Carlo error. All of our estimators are highly parallelizable, have a $\mathcal{O}(1 / \sqrt{\mathcal{W}})$ convergence rate in the number of samples, and generalize naturally to higher dimensions. We solve problems with many interfaces that have irregular geometry and in up to dimension six. Numerical experiments demonstrate the effectiveness of the approach and to highlight its potential in solving problems motivated by real-world applications.
• Abstract（参考訳）: 楕円界面問題は、様々な科学的・工学的応用において発生し、界面の物理的性質が不連続に変化する異種物質をモデル化する。 本稿では,非均一なフラックスジャンプ条件を持つノイマン楕円界面問題に対するグリッドフリーモンテカルロ推定器であるtextit{Walk-on-Interfaces} (WoI) を提案する。 我々のモンテカルロ推定器は、ドメイン全体にわたって一貫した精度を維持しており、そのため、インターフェースの近くのよく知られたオープンソース評価問題に苦しむことはない。 また, ばらつきを低減した簡易な修正も行った。 解の勾配の推定は、WoIにおけるグリーン関数の勾配を単純に計算することで、ほとんど追加費用なしで行うことができる。 科学的機械学習アプローチを採用して、ソリューションの連続的な表現を出力するディープニューラルネットワークのためのトレーニングデータを提供するために、推定器を使用します。 これにより、高周波数モンテカルロ誤差を除去することで、解の推定を正則化する。 全ての推定子は高度に並列化可能であり、サンプル数の$\mathcal{O}(1 / \sqrt{\mathcal{W}})$収束率を持ち、自然に高次元に一般化する。 我々は不規則な幾何学を持ち、最大6次元の多くのインタフェースで問題を解決する。 数値解析実験は、実世界の応用に動機づけられた問題解決において、このアプローチの有効性を実証し、その可能性を強調する。

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