論文の概要: A Discontinuity Capturing Shallow Neural Network for Elliptic Interface
Problems
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2106.05587v1
- Date: Thu, 10 Jun 2021 08:40:30 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2021-06-11 14:02:33.252383
- Title: A Discontinuity Capturing Shallow Neural Network for Elliptic Interface
Problems
- Title（参考訳）: 楕円型インタフェース問題に対する浅層ニューラルネットワークの不連続捕捉
- Authors: Wei-Fan Hu and Te-Sheng Lin and Ming-Chih Lai
- Abstract要約: 連続関数を$d$次元で近似し,楕円型インタフェース問題を解くための不連続キャプチャ・シャローニューラルネットワーク(DCSNN)を開発した。
DCSNNモデルは、トレーニングが必要なパラメータの適度な数だけのために、比較的に効率的である。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: In this paper, a new Discontinuity Capturing Shallow Neural Network (DCSNN)
for approximating $d$-dimensional piecewise continuous functions and for
solving elliptic interface problems is developed. There are three novel
features in the present network; namely, (i) jump discontinuity is captured
sharply, (ii) it is completely shallow consisting of only one hidden layer,
(iii) it is completely mesh-free for solving partial differential equations
(PDEs). We first continuously extend the $d$-dimensional piecewise continuous
function in $(d+1)$-dimensional space by augmenting one coordinate variable to
label the pieces of discontinuous function, and then construct a shallow neural
network to express this new augmented function. Since only one hidden layer is
employed, the number of training parameters (weights and biases) scales
linearly with the dimension and the neurons used in the hidden layer. For
solving elliptic interface equations, the network is trained by minimizing the
mean squared error loss that consists of the residual of governing equation,
boundary condition, and the interface jump conditions. We perform a series of
numerical tests to compare the accuracy and efficiency of the present network.
Our DCSNN model is comparably efficient due to only moderate number of
parameters needed to be trained (a few hundreds of parameters used throughout
all numerical examples here), and the result shows better accuracy (and less
parameters) than other method using piecewise deep neural network in
literature. We also compare the results obtained by the traditional grid-based
immersed interface method (IIM) which is designed particularly for elliptic
interface problems. Again, the present results show better accuracy than the
ones obtained by IIM. We conclude by solving a six-dimensional problem to show
the capability of the present network for high-dimensional applications.
- Abstract（参考訳）: 本稿では,d$次元の区分的連続関数を近似し,楕円界面問題を解くための,新しい不連続な浅層ニューラルネットワーク(dcsnn)を開発した。
現在のネットワークには3つの新しい特徴がある: (i) ジャンプの不連続性を鋭く捉え、 (ii) 隠れた1つの層のみからなる完全に浅い、 (iii) 偏微分方程式(PDE)を解くために完全にメッシュフリーである。
まず,不連続関数をラベル付けするために1つの座標変数を拡大することにより,$d$次元のピースワイド連続関数を$(d+1)$次元空間で連続的に拡張し,さらに,この新たな拡張関数を表現するために浅いニューラルネットワークを構築した。
隠れた層が1つしかないため、トレーニングパラメータ(重みとバイアス)の数は、隠れた層で使用される次元とニューロンと線形にスケールする。
楕円界面方程式を解くために、ネットワークは、制御方程式の残差、境界条件、および界面跳躍条件からなる平均二乗誤差損失を最小化することによって訓練される。
本稿では,ネットワークの精度と効率を比較するために,一連の数値実験を行う。
我々のDCSNNモデルは、トレーニングされる必要のあるパラメータの適度な数だけ(ここではすべての数値例で使用される数百のパラメータ)のため、比較可能な効率がよい。
また,従来のグリッドベース没入インタフェース法 (IIM) による楕円型インタフェース問題に対する結果との比較を行った。
その結果,IIMの精度はIIMよりも高いことがわかった。
結論として,6次元問題を解くことで,現在のネットワークの高次元応用能力を示す。
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