論文の概要: $k$-Positive Maps: New Characterizations and a Generation Method

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2508.21348v1
• Date: Fri, 29 Aug 2025 06:22:57 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-01 19:45:10.935255
• Title: $k$-Positive Maps: New Characterizations and a Generation Method
• Title（参考訳）: $k$-Positive Maps: 新しい特徴と生成方法
• Authors: Frederik vom Ende, Sumeet Khatri, Sergey Denisov,
• Abstract要約: 行列代数上の$k$陽性線型写像を研究し、$k$陽性と$k$陽性写像の生成を特徴づける2つの問題に対処する。 キャラクタリゼーション側では、(a)$k=d$, (b) ある位数-3テンソルのスペクトルノルムへの直接的リンクを明らかにすると、簡単なチェックに還元される、$k$-陽性に相当する最適化ベースの条件を導出する。 生成側では、単一の$k$から始まるLie-semigroupベースのメソッドを導入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.9685837672183747
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study $k$-positive linear maps on matrix algebras and address two problems, (i) characterizations of $k$-positivity and (ii) generation of non-decomposable $k$-positive maps. On the characterization side, we derive optimization-based conditions equivalent to $k$-positivity that (a) reduce to a simple check when $k=d$, (b) reveal a direct link to the spectral norm of certain order-3 tensors (aligning with known NP-hardness barriers for $k<d$), and (c) recast $k$-positivity as a novel optimization problem over separable states, thereby connecting it explicitly to separability testing. On the generation side, we introduce a Lie-semigroup-based method that, starting from a single $k$-positive map, produces one-parameter families that remain $k$-positive and non-decomposable for small enough times. We illustrate this by generating such families for $d=3$ and $d=4$. We also formulate a semi-definite program (SDP) to test an equivalent form of the positive partial transpose (PPT) square conjecture (and do not find any violation of the latter). Our results provide practical computational tools for certifying $k$-positivity and a systematic way to sample $k$-positive non-decomposable maps.
• Abstract（参考訳）: 行列代数上の$k$-陽性線型写像を研究し、2つの問題に対処する。 (i)$k$-positivity および (ii)非分解不能な$k$-陽性写像の生成。 キャラクタリゼーションの面では、最適化に基づく条件を$k$-positivityと同値に導出する。 (a)$k=d$, (b)ある順序3テンソルのスペクトルノルム($k<d$の既知のNP硬度障壁に比例して)と直接リンクし、 (c) 分離可能な状態に対する新しい最適化問題として$k$-positivityをリキャストし、分離性テストに明示的に接続する。 生成側では、単一の$k$陽性写像から始まり、k$陽性で十分小さな時間で分解不能な1パラメータの族を生成するリーセミグループに基づく手法を導入する。 このようなファミリを$d=3$と$d=4$で生成することで、これを説明します。 また、半定値プログラム(SDP)を定式化し、正部分転置(PPT)二乗予想の等価形式をテストする(後者に違反は見つからない)。 本結果は,$k$-正の証明を行うための実用的な計算ツールと,$k$-正の非可逆写像を標本化するための体系的な方法を提供する。

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