論文の概要: Uniqueness of Complementary Recovery in Holographic Error-Correcting Codes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.19299v1
• Date: Tue, 23 Sep 2025 17:59:16 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-24 20:41:27.991501
• Title: Uniqueness of Complementary Recovery in Holographic Error-Correcting Codes
• Title（参考訳）: ホログラム誤り訂正符号の相補的回復の特異性
• Authors: Julia Jones, Jason Pollack,
• Abstract要約: ホログラフィック符号は、補的回復特性によって保証される余分な幾何学的構造を持つ誤り訂正符号である。 特異性の欠如は,$mathcalHbar A$の消去に対して誤り訂正を強制しなかったことに起因する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Holographic codes are a type of error-correcting code with extra geometric structure ensured by a ``complementary recovery'' property: given a division of the physical Hilbert space $\mathcal{H}$ into $\mathcal{H}_A$ and $\mathcal{H}_{\bar A}$, and an algebra of physical operators $\mathcal{M}\subseteq (\mathcal{L}(\mathcal{H}_A)\otimes I_{\mathcal{H}_{\bar A}})$, the logical operators in $\mathcal{L}(\mathcal{H}_L)\simeq \mathcal{L}(P\mathcal{H})$ which can be created by acting in $\mathcal{M}$ are identical to the logical operators whose expectation values cannot be altered by acting in the commutant $\mathcal{M}^\prime$, and vice versa. In arXiv:2110.14691, a uniqueness theorem was stated: the only possible tuple of (code, bipartition, algebra) which can exhibit complementary recovery is the maximal one $\mathcal{M}=P(\mathcal{L}(\mathcal{H}_A)\otimes I_{\mathcal{H}_{\bar A}})P$. We point out a counterexample to this result, using a ``non-adjacent'' bipartition of a four-qubit code proposed in arXiv:2110.14691. We show that the failure of uniqueness is due to a failure to enforce error correction against erasure of $\mathcal{H}_{\bar A}$, which requires enforcing the algebraic Knill-Laflamme condition $[P E_i^\dagger E_j P,\mathcal{M}]=0$ for each pair of error operators. When we add the additional requirement that $\mathcal{M}$ be correctable with respect to this channel, uniqueness is restored, and we re-prove the theorem of arXiv:2110.14691 with this added assumption. We present the list of bipartitions of the ``atomic'' holographic codes in arXiv:2110.14691 in which the correctability assumption can be violated.
• Abstract（参考訳）: Holographic codes is a type of error-correcting code with extra geometry structure ensured by a `complementary recovery'' property: given a division of the physical Hilbert space $\mathcal{H}_A$ and $\mathcal{H}_{\bar A}$, and an algebra of physical operator $\mathcal{M}\subseteq (\mathcal{H}_A)\otimes I_{\mathcal{H}_{\bar A}}$, the logical operator in $\mathcal{L}(\mathcal{H}_L)\simeq \mathcal{L}(P\mathcal{H})$, which can created by $\mathcal{M}$ and $\mathcal{H}_{\bar A}$, and an algebra of physical operator of physical operator $\mathcal{M}\subseteq (\mathcal{L}(\mathcal{H}_A)\otimes I_{\mathcal{H}_{\bar A}}. arXiv:2110.14691 では、一意性定理が述べられている: 相補的回復を示すことができる唯一の可能なタプルは、最大値 $\mathcal{M}=P(\mathcal{L}(\mathcal{H}_A)\otimes I_{\mathcal{H}_{\bar A}})P$ である。 我々は、arXiv:2110.14691 で提案された 4 ビット符号の ``non-adjacent'' 分割を用いて、この結果に対する反例を指摘する。 このことは, 代数的 Knill-Laflamme 条件 $[P E_i^\dagger E_j P,\mathcal{M}]=0$ を誤差演算子対に対して強制する必要がある。 このチャネルに関して$\mathcal{M}$ が修正可能であるという追加の要求を加えると、一意性は復元され、この仮定を加えて arXiv:2110.14691 の定理を再証明する。 本稿では, 正当性仮定に違反する可能性のある, arXiv:2110.14691 の `atomic'' ホログラム符号の2部構成の一覧を示す。

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