論文の概要: Non-Euclidean Broximal Point Method: A Blueprint for Geometry-Aware Optimization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.00823v1
• Date: Wed, 01 Oct 2025 12:32:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-03 16:59:20.55593
• Title: Non-Euclidean Broximal Point Method: A Blueprint for Geometry-Aware Optimization
• Title（参考訳）: 非ユークリッドブロキシマル点法:幾何学的最適化のための青写真
• Authors: Kaja Gruntkowska, Peter Richtárik,
• Abstract要約: Broximal Point Method(BPM)は、現在の反復を中心にした標準球よりも目的関数を反復的に最小化する、理想的な最適化フレームワークを提供する。 顕著な大域収束保証、線形収束、および正規閉凸函数に対する有限のステップを享受する。 本稿では、BPMの収束理論が、このより一般的な非ユークリッド的な設定に拡張できるかどうかを問う。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 55.002497070656624
• License: http://creativecommons.org/publicdomain/zero/1.0/
• Abstract: The recently proposed Broximal Point Method (BPM) [Gruntkowska et al., 2025] offers an idealized optimization framework based on iteratively minimizing the objective function over norm balls centered at the current iterate. It enjoys striking global convergence guarantees, converging linearly and in a finite number of steps for proper, closed and convex functions. However, its theoretical analysis has so far been confined to the Euclidean geometry. At the same time, emerging trends in deep learning optimization, exemplified by algorithms such as Muon [Jordan et al., 2024] and Scion [Pethick et al., 2025], demonstrate the practical advantages of minimizing over balls defined via non-Euclidean norms which better align with the underlying geometry of the associated loss landscapes. In this note, we ask whether the convergence theory of BPM can be extended to this more general, non-Euclidean setting. We give a positive answer, showing that most of the elegant guarantees of the original method carry over to arbitrary norm geometries. Along the way, we clarify which properties are preserved and which necessarily break down when leaving the Euclidean realm. Our analysis positions Non-Euclidean BPM as a conceptual blueprint for understanding a broad class of geometry-aware optimization algorithms, shedding light on the principles behind their practical effectiveness.
• Abstract（参考訳）: 最近提案されたBroximal Point Method (BPM) [Gruntkowska et al , 2025] は、現在のイテレートを中心とする標準球に対する目的関数を反復的に最小化する、理想的な最適化フレームワークを提供する。 顕著な大域収束保証、線形収束、および正規閉凸函数に対する有限のステップを享受する。 しかし、その理論解析は今のところユークリッド幾何学に限られている。 同時に、ムオン(Jordan et al , 2024)やシオン(Pethick et al , 2025)のようなアルゴリズムによって実証されたディープラーニング最適化の新たなトレンドは、関連するロスランドスケープの基盤となる幾何とより整合した非ユークリッドノルムによって定義されるボールの最小化という実践的な利点を実証している。 本稿では、BPMの収束理論が、このより一般的な非ユークリッド的な設定にまで拡張できるかどうかを問う。 我々は、元のメソッドのエレガントな保証のほとんどが任意のノルム測度に受け継がれることを示す、肯定的な回答を与える。 その過程で、どの性質が保存されているかを明らかにし、ユークリッド領域を離れるときに必ず壊れる。 我々の分析では、非ユークリッドBPMを、幾何対応最適化アルゴリズムの幅広いクラスを理解するための概念的青写真として位置づけ、その実用性の背後にある原則に光を当てています。

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