論文の概要: A doubly composite Chernoff-Stein lemma and its applications
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.06342v1
- Date: Tue, 07 Oct 2025 18:06:30 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-10-09 16:41:20.13276
- Title: A doubly composite Chernoff-Stein lemma and its applications
- Title（参考訳）: 二重複合Chernoff-Stein補題とその応用
- Authors: Ludovico Lami,
- Abstract要約: 確率分布に関する2つの仮説を区別する確率変数列が与えられた場合、統計学と情報理論において重要な課題となる。
この結果の一般化は、合成仮説の場合には存在するが、主に$Xn$の確率分布が真に相関しないような設定である。
ここでは、両方の仮説が合成され、真に相関した設定に適用される一般的なチェルノフ・シュタイン補題を確立する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 13.283296551055734
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Given a sequence of random variables $X^n=X_1,\ldots, X_n$, discriminating between two hypotheses on the underlying probability distribution is a key task in statistics and information theory. Of interest here is the Stein exponent, i.e. the largest rate of decay (in $n$) of the type II error probability for a vanishingly small type I error probability. When the hypotheses are simple and i.i.d., the Chernoff-Stein lemma states that this is given by the relative entropy between the single-copy probability distributions. Generalisations of this result exist in the case of composite hypotheses, but mostly to settings where the probability distribution of $X^n$ is not genuinely correlated, but rather, e.g., a convex combination of product distributions with components taken from a base set. Here, we establish a general Chernoff-Stein lemma that applies to the setting where both hypotheses are composite and genuinely correlated, satisfying only generic assumptions such as convexity (on both hypotheses) and some weak form of permutational symmetry (on either hypothesis). Our result, which strictly subsumes most prior work, is proved using a refinement of the blurring technique developed in the context of the generalised quantum Stein's lemma [Lami, IEEE Trans. Inf. Theory 2025]. In this refined form, blurring is applied symbol by symbol, which makes it both stronger and applicable also in the absence of permutational symmetry. The second part of the work is devoted to applications: we provide a single-letter formula for the Stein exponent characterising the discrimination of broad families of null hypotheses vs a composite i.i.d. or an arbitrarily varying alternative hypothesis, and establish a 'constrained de Finetti reduction' statement that covers a wide family of convex constraints. Applications to quantum hypothesis testing are explored in a related paper [Lami, arXiv:today].
- Abstract（参考訳）: X^n=X_1,\ldots, X_n$という確率分布に関する2つの仮説を区別する確率変数列が与えられた場合、統計学や情報理論において重要な課題である。
ここで興味深いのは、スタイン指数、すなわち、消滅するほど小さいタイプIエラー確率に対するタイプIIエラー確率の最大の崩壊率($n$)である。
仮説が単純かつd.d.であるとき、チェルノフ・シュタイン補題は、これは単一のコピー確率分布の間の相対エントロピーによって与えられると述べる。
この結果の一般化は、合成仮説においては存在するが、主に、X^n$ の確率分布が真に相関するものではなく、むしろ、元集合から取られた成分と積分布の凸結合であるような設定である。
ここでは、両方の仮説が合成され、真に相関した設定に適用できる一般的なチェルノフ・シュタイン補題を定め、凸性(両方の仮説において)や置換対称性の弱い形式(どちらの仮説においても)のような一般的な仮定のみを満たす。
この結果は, 一般化された量子シュタインの補題(Lami, IEEE Trans. Inf. Theory 2025)の文脈で発達したぼやけた手法の洗練を用いて, より厳密な先行研究を仮定したものである。
この洗練された形式では、ブラーリングはシンボルによってシンボルとして適用されるため、置換対称性が欠如している場合にも、より強くかつ適用可能である。
研究の第2部は応用に特化している: 無限仮説の広い族(英語版)の判別を特徴づけるスタイン指数に対する単文字公式(英語版)(le-letter formula) と、より広い凸制約をカバーした「制約されたデ・フィネッティ還元」(constrained de Finetti reduction) 文(英語版)(constrained de Finetti reduction) を定めている。
量子仮説テストの応用は、関連する論文[Lami, arXiv:today]で研究されている。
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