論文の概要: Where Have All the Kaczmarz Iterates Gone?

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.08563v1
• Date: Thu, 09 Oct 2025 17:59:36 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-10 17:54:15.306628
• Title: Where Have All the Kaczmarz Iterates Gone?
• Title（参考訳）: Kaczmarzのイテレートはどこで?
• Authors: El Houcine Bergou, Soumia Boucherouite, Aritra Dutta, Xin Li, Anna Ma,
• Abstract要約: ランダム化 Kaczmarz (RK) アルゴリズムは、大規模線形系を解くための最も計算的かつメモリ効率のよい反復アルゴリズムの1つである。 本稿では, 雑音や不整合を解く際のRKの挙動を考察し, 限界点の位置に対処する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 10.915273070034127
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The randomized Kaczmarz (RK) algorithm is one of the most computationally and memory-efficient iterative algorithms for solving large-scale linear systems. However, practical applications often involve noisy and potentially inconsistent systems. While the convergence of RK is well understood for consistent systems, the study of RK on noisy, inconsistent linear systems is limited. This paper investigates the asymptotic behavior of RK iterates in expectation when solving noisy and inconsistent systems, addressing the locations of their limit points. We explore the roles of singular vectors of the (noisy) coefficient matrix and derive bounds on the convergence horizon, which depend on the noise levels and system characteristics. Finally, we provide extensive numerical experiments that validate our theoretical findings, offering practical insights into the algorithm's performance under realistic conditions. These results establish a deeper understanding of the RK algorithm's limitations and robustness in noisy environments, paving the way for optimized applications in real-world scientific and engineering problems.
• Abstract（参考訳）: ランダム化 Kaczmarz (RK) アルゴリズムは、大規模線形系を解くための最も計算的かつメモリ効率のよい反復アルゴリズムの1つである。 しかし、実用的応用は、しばしばノイズや潜在的に一貫性のないシステムを含む。 RK の収束は一貫した系に対してよく理解されているが、雑音に関する RK の研究は、一貫性のない線形系に限られている。 本稿では, 雑音や不整合を解く際のRKの漸近的挙動を考察し, 限界点の位置に対処する。 ノイズレベルとシステム特性に依存する(ノイズ)係数行列の特異ベクトルと収束地平線上の境界を導出する役割について検討する。 最後に,我々の理論的な知見を検証し,現実的な条件下でのアルゴリズムの性能に関する実用的な知見を提供する。 これらの結果は、ノイズの多い環境でのRKアルゴリズムの限界と堅牢性をより深く理解し、現実の科学的・工学的な問題における最適化された応用の道を開いた。

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