論文の概要: Bounds in the Projective Unitary Group with Respect to Global Phase Invariant Metric

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.09765v1
• Date: Fri, 10 Oct 2025 18:16:22 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-14 18:06:29.61261
• Title: Bounds in the Projective Unitary Group with Respect to Global Phase Invariant Metric
• Title（参考訳）: 大域的位相不変量に着目した射影ユニタリ群の境界
• Authors: Bhanu Pratap Yadav, Mahdi Bayanifar, Olav Tirkkonen,
• Abstract要約: 射影ユニタリ群 PUn における大域位相不変計量を考える。 PUn のギルバート・バルシャモフ境界とハミング境界を導出する。 また、PUn上に均一に分布するソースを定量化するための歪み率関数のバウンダリを確立する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.146299263236648
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: We consider a global phase-invariant metric in the projective unitary group PUn, relevant for universal quantum computing. We obtain the volume and measure of small metric ball in PUn and derive the Gilbert-Varshamov and Hamming bounds in PUn. In addition, we provide upper and lower bounds for the kissing radius of the codebooks in PUn as a function of the minimum distance. Using the lower bound of the kissing radius, we find a tight Hamming bound. Also, we establish bounds on the distortion-rate function for quantizing a source uniformly distributed over PUn. As example codebooks in PUn, we consider the projective Pauli and Clifford groups, as well as the projective group of diagonal gates in the Clifford hierarchy, and find their minimum distances. For any code in PUn with given cardinality we provide a lower bound of covering radius. Also, we provide expected value of the covering radius of randomly distributed points on PUn, when cardinality of code is sufficiently large. We discuss codebooks at various stages of the projective Clifford + T and projective Clifford + S constructions in PU2, and obtain their minimum distance, distortion, and covering radius. Finally, we verify the analytical results by simulation.
• Abstract（参考訳）: 我々は、普遍量子コンピューティングに関係のある射影ユニタリ群 PUn における大域的位相不変計量を考える。 PUn の小さな計量球の体積と測度を取得し、PUn のギルバート・バルシャモフおよびハミング境界を導出する。 さらに、最小距離の関数として、PUnにおけるコードブックのキス半径の上限値と下限値を与える。 キス半径の下限を用いて、きつくハミング境界を求める。 また、PUn上に均一に分布するソースを定量化するための歪み率関数のバウンダリを確立する。 PUn のコードブックの例として、射影パウリ群とクリフォード群、およびクリフォード階層内の対角ゲートの射影群を考え、それらの最小距離を求める。 与えられた濃度を持つ任意の PUn の符号に対して、被覆半径の低い境界を与える。 また、符号の濃度が十分に大きい場合、ランダムに分布する点の被覆半径の期待値を提供する。 我々は、射影 Clifford + T の様々な段階におけるコードブックと PU2 における射影 Clifford + S の構造について議論し、それらの最小距離、歪み、被覆半径を得る。 最後に,解析結果をシミュレーションにより検証する。

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