論文の概要: A unified approach to quantum de Finetti theorems and SoS rounding via geometric quantization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2411.04057v1
• Date: Wed, 06 Nov 2024 17:09:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2024-11-07 19:22:30.399983
• Title: A unified approach to quantum de Finetti theorems and SoS rounding via geometric quantization
• Title（参考訳）: 量子デフィネッティ定理と幾何量子化によるSoS丸めへの統一的アプローチ
• Authors: Sujit Rao,
• Abstract要約: 我々は、量子デ・フィネッティの定理に関連するSOS階層のエルミート版の間の関係について研究する。 従来のHSoSラウンドリングアルゴリズムは,対象関数の定量化として再キャスト可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
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• Abstract: The sum-of-squares hierarchy of semidefinite programs has become a common tool for algorithm design in theoretical computer science, including problems in quantum information. In this work we study a connection between a Hermitian version of the SoS hierarchy, related to the quantum de Finetti theorem, and geometric quantization of compact K\"ahler manifolds (such as complex projective space $\mathbb{C}P^{d}$, the set of all pure states in a $(d + 1)$-dimensional Hilbert space). We show that previously known HSoS rounding algorithms can be recast as quantizing an objective function to obtain a finite-dimensional matrix, finding its top eigenvector, and then (possibly nonconstructively) rounding it by using a version of the Husimi quasiprobability distribution. Dually, we recover most known quantum de Finetti theorems by doing the same steps in the reverse order: a quantum state is first approximated by its Husimi distribution, and then quantized to obtain a separable state approximating the original one. In cases when there is a transitive group action on the manifold we give some new proofs of existing de Finetti theorems, as well as some applications including a new version of Renner's exponential de Finetti theorem proven using the Borel--Weil--Bott theorem, and hardness of approximation results and optimal degree-2 integrality gaps for the basic SDP relaxation of \textsc{Quantum Max-$d$-Cut} (for arbitrary $d$). We also describe how versions of these results can be proven when there is no transitive group action. In these cases we can deduce some error bounds for the HSoS hierarchy on complex projective varieties which are smooth.
• Abstract（参考訳）: 半定値プログラムの総和二乗階層は、量子情報の問題を含む理論計算機科学におけるアルゴリズム設計の一般的なツールとなっている。 本研究では、量子デ・フィネッティの定理(英語版)とコンパクト K アーラー多様体(複素射影空間 $\mathbb{C}P^{d}$、$(d + 1)$-次元ヒルベルト空間における全ての純状態の集合など)の幾何量子化(英語版)との関係について研究する。 従来知られていたHSoSラウンドリングアルゴリズムは、対象関数を定量化して有限次元行列を求め、そのトップ固有ベクトルを見つけ、フシミ準確率分布のバージョンを用いて(おそらくは非構成的に)それを丸めることができることを示す。 第二に、最も知られている量子デ・フィネッティの定理は、逆順で同じステップをすることで回復する: 量子状態は、そのフシミ分布によってまず近似され、次に量子化され、元の状態に近似する分離可能な状態が得られる。 多様体上の推移的群作用が存在する場合、既存のデ・フィネッティの定理の新しい証明や、ボレル=ヴェイユ=ボットの定理を用いて証明されたルナーの指数的デ・フィネッティの定理の新バージョン、近似結果の硬さと最適次数2の積分性ギャップを、 textsc{Quantum Max-$d$-Cut} (任意の$d$) の基本的な SDP緩和に対して与えるいくつかの応用を与える。 また、推移的な群作用が存在しない場合、これらの結果のバージョンがどのように証明されるかについても述べる。 これらの場合、滑らかな複素射影多様体上の HSoS 階層に対するいくつかの誤差境界を導出することができる。

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