論文の概要: Beyond sparse denoising in frames: minimax estimation with a scattering transform

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.19612v2
• Date: Sun, 26 Oct 2025 08:46:44 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-28 13:14:10.613287
• Title: Beyond sparse denoising in frames: minimax estimation with a scattering transform
• Title（参考訳）: フレームにおけるスパースノイズの超過 -散乱変換による最小推定-
• Authors: Nathanaël Cuvelle--Magar, Stéphane Mallat,
• Abstract要約: 散乱係数の異なる部分集合の$ell1$ノルムを最小化し、最大化する。 信号からの雑音を抑圧し、幾何学関数の正則性を指定するために、異なる調和解析アプローチを提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.977701938581778
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: A considerable amount of research in harmonic analysis has been devoted to non-linear estimators of signals contaminated by additive Gaussian noise. They are implemented by thresholding coefficients in a frame, which provide a sparse signal representation, or by minimising their $\ell^1$ norm. However, sparse estimators in frames are not sufficiently rich to adapt to complex signal regularities. For cartoon images whose edges are piecewise $\bf C^\alpha$ curves, wavelet, curvelet and Xlet frames are suboptimal if the Lipschitz exponent $\alpha \leq 2$ is an unknown parameter. Deep convolutional neural networks have recently obtained much better numerical results, which reach the minimax asymptotic bounds for all $\alpha$. Wavelet scattering coefficients have been introduced as simplified convolutional neural network models. They are computed by transforming the modulus of wavelet coefficients with a second wavelet transform. We introduce a denoising estimator by jointly minimising and maximising the $\ell^1$ norms of different subsets of scattering coefficients. We prove that these $\ell^1$ norms capture different types of geometric image regularity. Numerical experiments show that this denoising estimator reaches the minimax asymptotic bound for cartoon images for all Lipschitz exponents $\alpha \leq 2$. We state this numerical result as a mathematical conjecture. It provides a different harmonic analysis approach to suppress noise from signals, and to specify the geometric regularity of functions. It also opens a mathematical bridge between harmonic analysis and denoising estimators with deep convolutional network.
• Abstract（参考訳）: ハーモニック解析におけるかなりの研究は、加法的ガウス雑音によって汚染された信号の非線形推定に費やされている。 これらはフレーム内の閾値係数によって実装され、スパース信号表現を提供するか、または$\ell^1$ノルムを最小化する。 しかし、フレーム内のスパース推定器は複雑な信号規則性に適応するのに十分ではない。 もしリプシッツ指数$\alpha \leq 2$が未知のパラメータであるなら、エッジが断片的に$\bf C^\alpha$曲線、ウェーブレット、曲線およびXletフレームが準最適である。 ディープ畳み込みニューラルネットワークは、最近より優れた数値結果を得ており、すべての$\alpha$に対してミニマックス漸近境界に達する。 ウェーブレット散乱係数は、単純化された畳み込みニューラルネットワークモデルとして導入されている。 それらは第2ウェーブレット変換でウェーブレット係数のモジュラリティを変換することで計算される。 散乱係数の異なる部分集合の$\ell^1$ノルムを共同で最小化し、最大化する。 これらの$\ell^1$ノルムが様々な幾何学的画像正則性を捉えることを証明している。 数値実験により、このデノナイジング推定器は、すべてのリプシッツ指数に対する漫画画像のミニマックス漸近境界に達することが示されている。 我々はこの数値結果を数学的な予想として表現する。 これは信号からの雑音を抑圧し、関数の幾何学的正則性を指定するために異なる調和解析アプローチを提供する。 また、高調波解析と深い畳み込みネットワークを持つ騒音推定器の間の数学的橋渡しも行う。

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