論文の概要: Two Quantum Algorithms for Nonlinear Reaction-Diffusion Equation using Chebyshev Approximation Method

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.19855v1
• Date: Tue, 21 Oct 2025 19:14:23 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-25 03:08:16.332721
• Title: Two Quantum Algorithms for Nonlinear Reaction-Diffusion Equation using Chebyshev Approximation Method
• Title（参考訳）: チェビシェフ近似法による非線形反応拡散方程式の2つの量子アルゴリズム
• Authors: Manish Kumar,
• Abstract要約: 本稿では, トランキャット型チェビシェフポリー近似を用いた反応拡散方程式に対する2つの新しい量子アルゴリズムを提案する。 カルマン埋め込み行列の対角化に十分な条件を導出する。 対角化の成功は、特定の三角方程式が積分解を持たないという予想に基づいている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.775629639045375
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0/
• Abstract: We present two new quantum algorithms for reaction-diffusion equations that employ the truncated Chebyshev polynomial approximation. This method is employed to numerically solve the ordinary differential equation emerging from the linearization of the associated nonlinear differential equation. In the first algorithm, we use the matrix exponentiation method (Patel et al., 2018), while in the second algorithm, we repurpose the quantum spectral method (Childs et al., 2020). Our main technical contribution is to derive the sufficient conditions for the diagonalization of the Carleman embedding matrix, which is indispensable for designing both quantum algorithms. We supplement this with an efficient iterative algorithm to diagonalize the Carleman matrix. Our first algorithm has gate complexity of O(d$\cdot$log(d)+T$\cdot$polylog(T/$\varepsilon$)). Here $d$ is the size of the Carleman matrix, $T$ is the simulation time, and $\varepsilon$ is the approximation error. The second algorithm is polynomial in $log(d)$, $T$, and $log(1/\varepsilon)$ - the gate complexity scales as O(polylog(d)$\cdot$T$\cdot$polylog(T/$\varepsilon$)). In terms of $T$ and $\varepsilon$, this is comparable to the speedup gained by the current best known quantum algorithm for this problem, the truncated Taylor series method (Costa et.al., 2025). Our approach has two shortcomings. First, we have not provided an upper bound, in terms of d, on the condition number of the Carleman matrix. Second, the success of the diagonalization is based on a conjecture that a specific trigonometric equation has no integral solution. However, we provide strategies to mitigate these shortcomings in most practical cases.
• Abstract（参考訳）: 本稿では,チェビシェフ多項式近似を用いた反応拡散方程式の2つの新しい量子アルゴリズムを提案する。 この方法は、関連する非線形微分方程式の線形化から生じる常微分方程式を数値的に解くために用いられる。 第1のアルゴリズムでは行列指数法(Patel et al , 2018)を用い,第2のアルゴリズムでは量子スペクトル法(Childs et al , 2020)を再利用した。 我々の主な技術的貢献は、両方の量子アルゴリズムを設計するのに欠かせないカールマン埋め込み行列の対角化のための十分な条件を導出することである。 我々はこれを、カールマン行列を対角化するための効率的な反復アルゴリズムで補足する。 最初のアルゴリズムは O(d$\cdot$log(d)+T$\cdot$polylog(T/$\varepsilon$) のゲート複雑性を持つ。 ここで$d$はCarleman行列のサイズ、$T$はシミュレーション時間、$\varepsilon$は近似誤差である。 第二のアルゴリズムは、$log(d)$, $T$, and $log(1/\varepsilon)$ - ゲート複雑性は O(polylog(d)$\cdot$T$\cdot$polylog(T/$\varepsilon$) としてスケールする。 T$ と $\varepsilon$ は、この問題に対して現在知られている最もよく知られた量子アルゴリズムであるテイラー級数法 (Costa et.al., 2025) で得られるスピードアップに匹敵する。 私たちのアプローチには2つの欠点があります。 まず、カルマン行列の条件数について、d の観点から上界を与えていない。 第二に、対角化の成功は、特定の三角方程式が積分解を持たないという予想に基づいている。 しかし、ほとんどの場合において、これらの欠点を軽減するための戦略を提供する。

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