論文の概要: Quantum algorithms for spectral sums

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2011.06475v2
• Date: Mon, 10 Jun 2024 04:21:41 GMT
• ステータス: 処理完了
• システム内更新日: 2024-06-13 01:45:51.269723
• Title: Quantum algorithms for spectral sums
• Title（参考訳）: スペクトル和に対する量子アルゴリズム
• Authors: Alessandro Luongo, Changpeng Shao,
• Abstract要約: 正半定値行列(PSD)のスペクトル和を推定するための新しい量子アルゴリズムを提案する。 本稿では, スペクトルグラフ理論における3つの問題に対して, アルゴリズムと手法が適用可能であることを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 50.045011844765185
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/
• Abstract: We propose new quantum algorithms for estimating spectral sums of positive semi-definite (PSD) matrices. The spectral sum of an PSD matrix $A$, for a function $f$, is defined as $ \text{Tr}[f(A)] = \sum_j f(\lambda_j)$, where $\lambda_j$ are the eigenvalues of $A$. Typical examples of spectral sums are the von Neumann entropy, the trace of $A^{-1}$, the log-determinant, and the Schatten $p$-norm, where the latter does not require the matrix to be PSD. The current best classical randomized algorithms estimating these quantities have a runtime that is at least linearly in the number of nonzero entries of the matrix and quadratic in the estimation error. Assuming access to a block-encoding of a matrix, our algorithms are sub-linear in the matrix size, and depend at most quadratically on other parameters, like the condition number and the approximation error, and thus can compete with most of the randomized and distributed classical algorithms proposed in the literature, and polynomially improve the runtime of other quantum algorithms proposed for the same problems. We show how the algorithms and techniques used in this work can be applied to three problems in spectral graph theory: approximating the number of triangles, the effective resistance, and the number of spanning trees within a graph.
• Abstract（参考訳）: 正半定値行列(PSD)のスペクトル和を推定するための新しい量子アルゴリズムを提案する。 関数 $f$ に対する PSD 行列 $A$ のスペクトル和は $ \text{Tr}[f(A)] = \sum_j f(\lambda_j)$ と定義される。 スペクトル和の典型的な例は、フォン・ノイマンエントロピー、$A^{-1}$のトレース、対数行列式、およびSchatten $p$-norm である。 現在の古典的ランダム化アルゴリズムでは、これらの量の推定は、行列のゼロでない成分の数と推定誤差の2乗数で少なくとも線形である。 行列のブロックエンコーディングを仮定すると、我々のアルゴリズムは行列サイズにおいてサブ線形であり、条件数や近似誤差などの他のパラメータに大きく依存するので、文献で提案されているランダム化および分散古典アルゴリズムのほとんどと競合し、同じ問題に対して提案された他の量子アルゴリズムのランタイムを多項式的に改善することができる。 本稿では, スペクトルグラフ理論における3つの問題, 三角形の数の近似, 有効抵抗, およびグラフ内の分布木数について, アルゴリズムと手法が適用可能であることを示す。

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