論文の概要: Efficient quantum algorithm for dissipative nonlinear differential
equations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2011.03185v3
- Date: Sat, 16 Oct 2021 00:08:48 GMT
- ステータス: 処理完了
- システム内更新日: 2023-04-25 03:23:16.142826
- Title: Efficient quantum algorithm for dissipative nonlinear differential
equations
- Title（参考訳）: 散逸非線形微分方程式の効率的な量子アルゴリズム
- Authors: Jin-Peng Liu, Herman {\O}ie Kolden, Hari K. Krovi, Nuno F. Loureiro,
Konstantina Trivisa, Andrew M. Childs
- Abstract要約: 我々は、散逸的2次2次元常微分方程式の量子アルゴリズムを開発する。
我々のアルゴリズムは複雑性$T2 qmathrmpoly(log T, log n, log 1/epsilon)/epsilon$, ここでは$T$が進化時間、$epsilon$が許容エラー、$q$が解の崩壊を測定する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1988695717766686
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: Nonlinear differential equations model diverse phenomena but are notoriously
difficult to solve. While there has been extensive previous work on efficient
quantum algorithms for linear differential equations, the linearity of quantum
mechanics has limited analogous progress for the nonlinear case. Despite this
obstacle, we develop a quantum algorithm for dissipative quadratic
$n$-dimensional ordinary differential equations. Assuming $R < 1$, where $R$ is
a parameter characterizing the ratio of the nonlinearity and forcing to the
linear dissipation, this algorithm has complexity $T^2 q~\mathrm{poly}(\log T,
\log n, \log 1/\epsilon)/\epsilon$, where $T$ is the evolution time, $\epsilon$
is the allowed error, and $q$ measures decay of the solution. This is an
exponential improvement over the best previous quantum algorithms, whose
complexity is exponential in $T$. While exponential decay precludes efficiency,
driven equations can avoid this issue despite the presence of dissipation. Our
algorithm uses the method of Carleman linearization, for which we give a novel
convergence theorem. This method maps a system of nonlinear differential
equations to an infinite-dimensional system of linear differential equations,
which we discretize, truncate, and solve using the forward Euler method and the
quantum linear system algorithm. We also provide a lower bound on the
worst-case complexity of quantum algorithms for general quadratic differential
equations, showing that the problem is intractable for $R \ge \sqrt{2}$.
Finally, we discuss potential applications, showing that the $R < 1$ condition
can be satisfied in realistic epidemiological models and giving numerical
evidence that the method may describe a model of fluid dynamics even for larger
values of $R$.
- Abstract（参考訳）: 非線形微分方程式は様々な現象をモデル化するが、解くのは非常に難しい。
線形微分方程式の効率的な量子アルゴリズムに関する以前の研究は数多くあったが、量子力学の線形性は非線形の場合の類似性に制限がある。
この障害にもかかわらず、分数次$n$次元常微分方程式の量子アルゴリズムを開発する。
r < 1$, ここで $r$ は非線形性の比を特徴付け、線型散逸を強制するパラメータであると仮定すると、このアルゴリズムは複雑性 $t^2 q~\mathrm{poly}(\log t, \log n, \log 1/\epsilon)/\epsilon$ を持つ。
これは、過去最高の量子アルゴリズムよりも指数関数的な改善であり、その複雑さは指数関数的に$T$である。
指数的崩壊は効率を阻害するが、従属方程式は散逸の存在にもかかわらずこの問題を避けることができる。
我々のアルゴリズムはカールマン線型化法を用いており、新しい収束定理を与える。
本手法は, 非線形微分方程式系を線形微分方程式の無限次元系にマッピングし, 前方オイラー法と量子線形系アルゴリズムを用いて離散化, 切り離し, 解を求める。
また、一般の二次微分方程式に対する量子アルゴリズムの最悪の場合の複雑性を低くし、その問題は$R \ge \sqrt{2}$に対して難解であることを示した。
最後に,現実的な疫学モデルにおいて,$R < 1$条件が満たされることを示すとともに,より大きな値である$R$であっても,流体力学のモデルを記述することができることを示す数値的な証拠を与える。
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