論文の概要: Incomplete U-Statistics of Equireplicate Designs: Berry-Esseen Bound and Efficient Construction

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.20755v1
• Date: Thu, 23 Oct 2025 17:21:54 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-25 03:08:18.437089
• Title: Incomplete U-Statistics of Equireplicate Designs: Berry-Esseen Bound and Efficient Construction
• Title（参考訳）: 等価設計の不完全U統計:ベリー・エッシー境界と効率的な構成
• Authors: Cesare Miglioli, Jordan Awan,
• Abstract要約: U統計学は、サンプル平均を一般化し、非パラメトリック統計の多くを下支えする推定器の基本的なクラスである。 本稿では,ハイパーグラフ理論と設計を基礎としたU統計学の新しい視点を示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 4.123234066624863
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: U-statistics are a fundamental class of estimators that generalize the sample mean and underpin much of nonparametric statistics. Although extensively studied in both statistics and probability, key challenges remain: their high computational cost - addressed partly through incomplete U-statistics - and their non-standard asymptotic behavior in the degenerate case, which typically requires resampling methods for hypothesis testing. This paper presents a novel perspective on U-statistics, grounded in hypergraph theory and combinatorial designs. Our approach bypasses the traditional Hoeffding decomposition, the main analytical tool in this literature but one highly sensitive to degeneracy. By characterizing the dependence structure of a U-statistic, we derive a Berry-Esseen bound that applies to all incomplete U-statistics of deterministic designs, yielding conditions under which Gaussian limiting distributions can be established even in the degenerate case and when the order diverges. We also introduce efficient algorithms to construct incomplete U-statistics of equireplicate designs, a subclass of deterministic designs that, in certain cases, achieve minimum variance. Finally, we apply our framework to kernel-based tests that use Maximum Mean Discrepancy (MMD) and Hilbert-Schmidt Independence Criterion. In a real data example with CIFAR-10, our permutation-free MMD test delivers substantial computational gains while retaining power and type I error control.
• Abstract（参考訳）: U統計学は、サンプル平均を一般化し、非パラメトリック統計の多くを下支えする推定器の基本的なクラスである。 統計学と確率学の両方で広く研究されているが、重要な課題は、高い計算コスト(部分的には不完全なU統計学によって対処される)と退化の場合の非標準的な漸近的振る舞い(通常は仮説テストのための再サンプリング法を必要とする)である。 本稿では,超グラフ理論と組合せ設計を基礎としたU統計学の新しい視点を示す。 本論文の主な分析ツールである従来のHoeffding分解をバイパスするが, 退化には非常に敏感である。 U-統計量の依存構造を特徴付けることにより、決定論的設計の不完全なU-統計に適用されるベリー・エッシー境界を導出し、退化の場合や順序が分岐する場合においてもガウス極限分布が成立する条件を導出する。 また、同値な設計の不完全なU-統計(決定論的設計のサブクラス)を構築するための効率的なアルゴリズムを導入する。 最後に,最大平均離散性(MMD)とヒルベルト・シュミット独立基準を用いたカーネルベースのテストに適用する。 CIFAR-10による実データ例では、置換のないMDDテストは、パワーとI型エラー制御を維持しながら、かなりの計算ゲインを提供する。

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