論文の概要: Iso-Riemannian Optimization on Learned Data Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.21033v1
• Date: Thu, 23 Oct 2025 22:34:55 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-28 06:57:23.364897
• Title: Iso-Riemannian Optimization on Learned Data Manifolds
• Title（参考訳）: 学習データマニフォールドのアイソ・リーマン最適化
• Authors: Willem Diepeveen, Melanie Weber,
• Abstract要約: アイソ・リーマン幾何学を用いた学習データ多様体の最適化のための原理的フレームワークを提案する。 提案手法は,解釈可能なバリセンタ,クラスタリングの改善,逆問題に対する効率の良い解が得られることを示す。 これらの結果は、アイソ・リーマン幾何学の下での最適化が、学習された多様体の写像に固有の歪みを克服できることを証明している。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 6.345340156849189
• License: http://creativecommons.org/licenses/by-nc-nd/4.0/
• Abstract: High-dimensional data that exhibit an intrinsic low-dimensional structure are ubiquitous in machine learning and data science. While various approaches allow for learning the corresponding data manifold from finite samples, performing downstream tasks such as optimization directly on these learned manifolds presents a significant challenge. This work introduces a principled framework for optimization on learned data manifolds using iso-Riemannian geometry. Our approach addresses key limitations of classical Riemannian optimization in this setting, specifically, that the Levi-Civita connection fails to yield constant-speed geodesics, and that geodesic convexity assumptions break down under the learned pullback constructions commonly used in practice. To overcome these challenges, we propose new notions of monotonicity and Lipschitz continuity tailored to the iso-Riemannian setting and propose iso-Riemannian descent algorithms for which we provide a detailed convergence analysis. We demonstrate the practical effectiveness of those algorithms on both synthetic and real datasets, including MNIST under a learned pullback structure. Our approach yields interpretable barycentres, improved clustering, and provably efficient solutions to inverse problems, even in high-dimensional settings. These results establish that optimization under iso-Riemannian geometry can overcome distortions inherent to learned manifold mappings.
• Abstract（参考訳）: 固有の低次元構造を示す高次元データは、機械学習やデータサイエンスにおいてユビキタスである。 様々なアプローチにより、有限標本から対応するデータ多様体を学習することができるが、これらの学習多様体上で直接最適化などの下流タスクを実行することは大きな課題である。 本研究は、アイソ・リーマン幾何学を用いた学習データ多様体の最適化のための原理的枠組みを導入する。 この設定における古典的リーマン最適化の鍵となる制限、具体的には、レヴィ・チヴィタ接続は定速測地学を得られず、測地的凸性仮定は、実際によく用いられる学習された引き戻し構造の下で破滅する。 これらの課題を克服するために、アイソ・リーマン的設定に合わせて単調性やリプシッツ連続性の新たな概念を提案し、詳細な収束解析を提供するアイソ・リーマン降下アルゴリズムを提案する。 学習したプルバック構造の下で,MNISTを含む合成データと実データの両方に対して,これらのアルゴリズムの有効性を示す。 提案手法では,高次元設定においても,解釈可能なバリセントル,クラスタリングの改善,逆問題に対する効率の良い解が得られる。 これらの結果は、アイソ・リーマン幾何学の下での最適化が、学習された多様体の写像に固有の歪みを克服できることを証明している。

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