論文の概要: Multi-Scale Finite Expression Method for PDEs with Oscillatory Solutions on Complex Domains

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.22497v1
• Date: Sun, 26 Oct 2025 02:26:49 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-28 15:28:15.22165
• Title: Multi-Scale Finite Expression Method for PDEs with Oscillatory Solutions on Complex Domains
• Title（参考訳）: 複素領域上の振動解を持つPDEのマルチスケール有限表現法
• Authors: Gareth Hardwick, Haizhao Yang,
• Abstract要約: 高周波振動と複雑なジオメトリーは、従来の数値法では違法に高価な表現をもたらす。 精度,解釈可能性,計算効率を向上し,これらの課題に対処する拡張有限式法(FEX)を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.8296917468117835
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Solving partial differential equations (PDEs) with highly oscillatory solutions on complex domains remains a challenging and important problem. High-frequency oscillations and intricate geometries often result in prohibitively expensive representations for traditional numerical methods and lead to difficult optimization landscapes for machine learning-based approaches. In this work, we introduce an enhanced Finite Expression Method (FEX) designed to address these challenges with improved accuracy, interpretability, and computational efficiency. The proposed framework incorporates three key innovations: a symbolic spectral composition module that enables FEX to learn and represent multiscale oscillatory behavior; a redesigned linear input layer that significantly expands the expressivity of the model; and an eigenvalue formulation that extends FEX to a new class of problems involving eigenvalue PDEs. Through extensive numerical experiments, we demonstrate that FEX accurately resolves oscillatory PDEs on domains containing multiple holes of varying shapes and sizes. Compared with existing neural network-based solvers, FEX achieves substantially higher accuracy while yielding interpretable, closed-form solutions that expose the underlying structure of the problem. These advantages, often absent in conventional finite element, finite difference, and black-box neural approaches, highlight FEX as a powerful and transparent framework for solving complex PDEs.
• Abstract（参考訳）: 複素領域上の高振動解を用いた偏微分方程式(PDE)の解法は、依然として困難かつ重要な問題である。 高周波発振と複雑なジオメトリは、従来の数値法では不当に高価な表現となり、機械学習ベースのアプローチでは難しい最適化ランドスケープに繋がる。 本研究では,これらの課題に対して,精度,解釈可能性,計算効率の向上を図った拡張有限表現法(FEX)を提案する。 提案フレームワークは,FEXがマルチスケールの発振動作を学習し,表現できるシンボリックスペクトル合成モジュール,モデルの表現性を著しく拡張する再設計された線形入力層,FEXを固有値PDEを含む新しい問題に拡張する固有値定式化という3つの重要なイノベーションを含む。 広範囲にわたる数値実験により、FEXは異なる形状と大きさの複数の穴を含む領域上の振動PDEを正確に解決することを示した。 既存のニューラルネットワークベースの解法と比較して、FEXは、問題の基盤構造を明らかにする解釈可能でクローズドなソリューションを出力しながら、かなり高い精度を達成する。 これらの利点は、しばしば従来の有限要素、有限差分、ブラックボックスニューラルアプローチに欠けており、複雑なPDEを解くための強力で透明なフレームワークとしてFEXを強調している。

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