論文の概要: A roadmap for curvature-based geometric data analysis and learning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.22599v1
• Date: Sun, 26 Oct 2025 09:31:41 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-28 17:41:21.972845
• Title: A roadmap for curvature-based geometric data analysis and learning
• Title（参考訳）: 曲率に基づく幾何学的データ分析と学習のためのロードマップ
• Authors: Yasharth Yadav, Kelin Xia,
• Abstract要約: 本稿では,既存の離散曲率モデルの包括的レビューを行い,その数学的基礎,計算定式化,およびデータ解析と学習における実践的応用について述べる。 最後に、教師なし学習と教師なし学習の両方における曲率の最先端応用について概説する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.5808917363708743
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Geometric data analysis and learning has emerged as a distinct and rapidly developing research area, increasingly recognized for its effectiveness across diverse applications. At the heart of this field lies curvature, a powerful and interpretable concept that captures intrinsic geometric structure and underpins numerous tasks, from community detection to geometric deep learning. A wide range of discrete curvature models have been proposed for various data representations, including graphs, simplicial complexes, cubical complexes, and point clouds sampled from manifolds. These models not only provide efficient characterizations of data geometry but also constitute essential components in geometric learning frameworks. In this paper, we present the first comprehensive review of existing discrete curvature models, covering their mathematical foundations, computational formulations, and practical applications in data analysis and learning. In particular, we discuss discrete curvature from both Riemannian and metric geometry perspectives and propose a systematic pipeline for curvature-driven data analysis. We further examine the corresponding computational algorithms across different data representations, offering detailed comparisons and insights. Finally, we review state-of-the-art applications of curvature in both supervised and unsupervised learning. This survey provides a conceptual and practical roadmap for researchers to gain a better understanding of discrete curvature as a fundamental tool for geometric understanding and learning.
• Abstract（参考訳）: 幾何学的データ分析と学習は、様々な応用にまたがってその効果が認識され、急速に発展している研究分野として現れている。 この分野の中心にある曲率(curvature)は、内在的な幾何学的構造を捉え、コミュニティ検出から幾何学的深層学習に至るまで、多くのタスクを支える、強力で解釈可能な概念である。 グラフ、単体錯体、立方体錯体、多様体からサンプリングされた点雲など、様々なデータ表現に対して幅広い離散曲率モデルが提案されている。 これらのモデルは、データ幾何学の効率的な特徴付けを提供するだけでなく、幾何学学習フレームワークにおいて不可欠な要素も提供する。 本稿では,既存の離散曲率モデルの包括的レビューを行い,その数学的基礎,計算定式化,およびデータ解析と学習における実践的応用について述べる。 特に、リーマン幾何学と計量幾何学の両方の観点から離散曲率を議論し、曲率駆動型データ解析のための体系的なパイプラインを提案する。 さらに、異なるデータ表現にまたがって対応する計算アルゴリズムを検証し、詳細な比較と洞察を提供する。 最後に、教師なし学習と教師なし学習の両方における曲率の最先端応用について概説する。 この調査は、幾何学的理解と学習の基本的なツールとして、離散曲率をよりよく理解するための概念的で実践的なロードマップを提供する。

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