論文の概要: A PDE Perspective on Generative Diffusion Models

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.05940v1
• Date: Sat, 08 Nov 2025 09:19:25 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-11 21:18:44.668945
• Title: A PDE Perspective on Generative Diffusion Models
• Title（参考訳）: 生成拡散モデルに関するPDEの展望
• Authors: Kang Liu, Enrique Zuazua,
• Abstract要約: 我々は、スコアベース拡散プロセスのための厳密な偏微分方程式(PDE)フレームワークを開発する。 我々は、関連するスコアベースのFokker-Planckダイナミクスに対して、急激な$Lp$-stability推定を導出する。 その結果、正確な誘導の下で拡散軌道がデータ多様体に戻るという理論的保証が得られる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 8.328108675535562
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Score-based diffusion models have emerged as a powerful class of generative methods, achieving state-of-the-art performance across diverse domains. Despite their empirical success, the mathematical foundations of those models remain only partially understood, particularly regarding the stability and consistency of the underlying stochastic and partial differential equations governing their dynamics. In this work, we develop a rigorous partial differential equation (PDE) framework for score-based diffusion processes. Building on the Li--Yau differential inequality for the heat flow, we prove well-posedness and derive sharp $L^p$-stability estimates for the associated score-based Fokker--Planck dynamics, providing a mathematically consistent description of their temporal evolution. Through entropy stability methods, we further show that the reverse-time dynamics of diffusion models concentrate on the data manifold for compactly supported data distributions and a broad class of initialization schemes, with a concentration rate of order $\sqrt{t}$ as $t \to 0$. These results yield a theoretical guarantee that, under exact score guidance, diffusion trajectories return to the data manifold while preserving imitation fidelity. Our findings also provide practical insights for designing diffusion models, including principled criteria for score-function construction, loss formulation, and stopping-time selection. Altogether, this framework provides a quantitative understanding of the trade-off between generative capacity and imitation fidelity, bridging rigorous analysis and model design within a unified mathematical perspective.
• Abstract（参考訳）: スコアベース拡散モデルは、様々な領域で最先端のパフォーマンスを達成するために、強力な生成手法のクラスとして登場した。 その経験的成功にもかかわらず、これらのモデルの数学的基礎は、特に基礎となる確率方程式と偏微分方程式の安定性と一貫性について、部分的にしか理解されていない。 本研究では、スコアベース拡散プロセスのための厳密な偏微分方程式(PDE)フレームワークを開発する。 熱流のLi-Yau差分不等式に基づいて、その時間的進化を数学的に一貫した記述を提供し、関連するスコアベースFokker-Planckダイナミクスの鋭い$L^p$-stability推定を導出する。 エントロピー安定性法により、拡散モデルの逆時間ダイナミクスは、コンパクトに支持されたデータ分布と幅広い初期化スキームのクラスに焦点を合わせ、次数$\sqrt{t}$ as $t \to 0$ の集中率を持つことを示す。 これらの結果は、正確なスコアガイダンスの下では、拡散軌跡が模倣忠実性を保持しながらデータ多様体に戻るという理論的保証を与える。 また, スコア関数の構成, 損失定式化, 停止時間選択の原理的基準など, 拡散モデルを設計するための実用的な知見も提供する。 さらに、この枠組みは、生成能力と模倣の忠実さの間のトレードオフを定量的に理解し、厳密な分析と統一された数学的観点でのモデル設計をブリッジする。

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