論文の概要: Walsh-Hadamard Neural Operators for Solving PDEs with Discontinuous Coefficients

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2511.07347v1
• Date: Mon, 10 Nov 2025 17:49:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-11-11 21:18:45.402559
• Title: Walsh-Hadamard Neural Operators for Solving PDEs with Discontinuous Coefficients
• Title（参考訳）: 不連続係数を用いたPDE解法のためのWalsh-Hadamardニューラル演算子
• Authors: Giorrgio M. Cavallazzi, Miguel Perex Cuadrado, Alfredo Pinelli,
• Abstract要約: ニューラル作用素は偏微分方程式の解作用素を学習するための強力なツールとして登場した。 本稿では,WHNO(Walsh-Hadamard Neural Operator)を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Neural operators have emerged as powerful tools for learning solution operators of partial differential equations (PDEs). However, standard spectral methods based on Fourier transforms struggle with problems involving discontinuous coefficients due to the Gibbs phenomenon and poor representation of sharp interfaces. We introduce the Walsh-Hadamard Neural Operator (WHNO), which leverages Walsh-Hadamard transforms-a spectral basis of rectangular wave functions naturally suited for piecewise constant fields-combined with learnable spectral weights that transform low-sequency Walsh coefficients to capture global dependencies efficiently. We validate WHNO on three problems: steady-state Darcy flow (preliminary validation), heat conduction with discontinuous thermal conductivity, and the 2D Burgers equation with discontinuous initial conditions. In controlled comparisons with Fourier Neural Operators (FNO) under identical conditions, WHNO demonstrates superior accuracy with better preservation of sharp solution features at material interfaces. Critically, we discover that weighted ensemble combinations of WHNO and FNO achieve substantial improvements over either model alone: for both heat conduction and Burgers equation, optimal ensembles reduce mean squared error by 35-40 percent and maximum error by up to 25 percent compared to individual models. This demonstrates that Walsh-Hadamard and Fourier representations capture complementary aspects of discontinuous PDE solutions, with WHNO excelling at sharp interfaces while FNO captures smooth features effectively.
• Abstract（参考訳）: ニューラル作用素は偏微分方程式(PDE)の解演算子を学習するための強力なツールとして登場した。 しかし、フーリエ変換に基づく標準スペクトル法は、ギブス現象による不連続係数の問題と鋭い界面の表現不足に苦慮する。 我々はWHNO(Walsh-Hadamard Neural Operator)を導入し,WHNO(Walsh-Hadamard transforms)を応用した。 定常ダーシー流(予備検証)、不連続熱伝導率を伴う熱伝導、不連続初期条件をもつ2次元バーガース方程式の3つの問題についてWHNOを検証した。 フーリエ・ニューラル・オペレーター(FNO)と同一条件下での制御比較では、WHNOはシャープな溶液特性を材料界面でよりよく保存し、優れた精度を示す。 WHNOとFNOの重み付けアンサンブルの組み合わせは、熱伝導とバーガース方程式の両方において平均二乗誤差を35～40%、最大誤差を25%削減する。 このことはウォルシュ・アダマールとフーリエの表現が不連続なPDE解の相補的な側面を捉え、WHNOは鋭いインターフェイスに優れ、FNOは滑らかな特徴を効果的に捉えていることを示している。

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