論文の概要: Symplectic Reservoir Representation of Legendre Dynamics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.19409v1
• Date: Mon, 22 Dec 2025 14:04:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-23 18:54:32.779305
• Title: Symplectic Reservoir Representation of Legendre Dynamics
• Title（参考訳）: 伝説力学のシンプレクティック貯留層表現
• Authors: Robert Simon Fong, Gouhei Tanaka, Kazuyuki Aihara,
• Abstract要約: 物理学において、シンプレクティシティのようなハミルトン系の保存則は長期的な安定性を保証する。 ここでは、表現そのものがハミルトン力学の意味でシンプレクティック保存法に従うことが何を意味するのかを問う。 我々の主定理は、すべてのSR更新がこの正規形式を持ち、したがってルジャンドルグラフをルジャンドルグラフへ輸送し、各時点におけるルジャンドル双対性を保存することを示しています。 全体として、SRは幾何学的に制約されたルジャンドル保存表現マップを実装し、シンプレクティック幾何学とハミルトン力学を直接表現レベルで注入する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.2385654231730174
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Modern learning systems act on internal representations of data, yet how these representations encode underlying physical or statistical structure is often left implicit. In physics, conservation laws of Hamiltonian systems such as symplecticity guarantee long-term stability, and recent work has begun to hard-wire such constraints into learning models at the loss or output level. Here we ask a different question: what would it mean for the representation itself to obey a symplectic conservation law in the sense of Hamiltonian mechanics? We express this symplectic constraint through Legendre duality: the pairing between primal and dual parameters, which becomes the structure that the representation must preserve. We formalize Legendre dynamics as stochastic processes whose trajectories remain on Legendre graphs, so that the evolving primal-dual parameters stay Legendre dual. We show that this class includes linear time-invariant Gaussian process regression and Ornstein-Uhlenbeck dynamics. Geometrically, we prove that the maps that preserve all Legendre graphs are exactly symplectomorphisms of cotangent bundles of the form "cotangent lift of a base diffeomorphism followed by an exact fibre translation". Dynamically, this characterization leads to the design of a Symplectic Reservoir (SR), a reservoir-computing architecture that is a special case of recurrent neural network and whose recurrent core is generated by Hamiltonian systems that are at most linear in the momentum. Our main theorem shows that every SR update has this normal form and therefore transports Legendre graphs to Legendre graphs, preserving Legendre duality at each time step. Overall, SR implements a geometrically constrained, Legendre-preserving representation map, injecting symplectic geometry and Hamiltonian mechanics directly at the representational level.
• Abstract（参考訳）: 現代の学習システムはデータの内部表現に作用するが、これらの表現が基礎となる物理構造や統計構造をエンコードする方法はしばしば暗黙に残されている。 物理学において、シンプレクティシティのようなハミルトン系の保存法則は長期的な安定性を保証し、最近の研究は、そのような制約を損失や出力レベルでの学習モデルに固定し始めている。 ハミルトン力学の意味でシンプレクティック保存法に従うことは、表現そのものにとって何を意味するのか? 我々は、このシンプレクティック制約をルジャンドル双対性(英語版)を通して表現する: 原始パラメータと双対パラメータのペアリングは、表現が保存しなければならない構造となる。 我々は、ルジャンドル力学を、ルジャンドルグラフ上の軌道が残る確率過程として定式化し、進化する原始双対パラメータがルジャンドル双対のままとなるようにした。 このクラスは、線形時間不変ガウス過程回帰とオルンシュタイン・ウレンベック力学を含むことを示す。 幾何学的には、すべてのルジャンドルグラフを保存する写像は「基底微分同相写像の余接リフトとそれに続く正確なファイバー変換」という形の余接バンドルのちょうどシンプレクティック同相写像であることが証明される。 動的に、この特性はシンプレクティック貯水池 (SR) の設計につながります。これは、リカレントニューラルネットワークの特別なケースであり、そのリカレントコアは運動量において最も線形なハミルトン系によって生成されます。 我々の主定理は、すべてのSR更新がこの正規形式を持ち、したがってルジャンドルグラフをルジャンドルグラフに転送し、各時点におけるルジャンドル双対性を保存することを示しています。 全体として、SRは幾何学的に制約されたルジャンドル保存表現マップを実装し、シンプレクティック幾何学とハミルトン力学を直接表現レベルで注入する。

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