論文の概要: Learning Latent Graph Geometry via Fixed-Point Schrödinger-Type Activation: A Theoretical Study
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2507.20088v2
- Date: Fri, 07 Nov 2025 06:39:48 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2025-11-10 14:53:49.453403
- Title: Learning Latent Graph Geometry via Fixed-Point Schrödinger-Type Activation: A Theoretical Study
- Title（参考訳）: 固定点シュレーディンガー型活性化による潜在グラフ幾何学の学習:理論的研究
- Authors: Dmitry Pasechnyuk-Vilensky, Martin Takáč,
- Abstract要約: 我々は、学習された潜在グラフ上の散逸的シュリンガー型ダイナミクスの定常状態として内部表現が進化するニューラルアーキテクチャの統一的理論的枠組みを開発する。
我々は、平衡の存在、一意性、滑らかな依存を証明し、力学がノルム保存ランダウ-リフシッツ流にブロッホ写像の下で等価であることを示す。
結果として得られるモデルクラスは、固定点 Schr"odinger 型のアクティベーションを通して潜在グラフ幾何学を学ぶためのコンパクトで幾何学的に解釈可能で解析的に抽出可能な基礎を提供する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1745324895296467
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: We develop a unified theoretical framework for neural architectures whose internal representations evolve as stationary states of dissipative Schr\"odinger-type dynamics on learned latent graphs. Each layer is defined by a fixed-point Schr\"odinger-type equation depending on a weighted Laplacian encoding latent geometry and a convex local potential. We prove existence, uniqueness, and smooth dependence of equilibria, and show that the dynamics are equivalent under the Bloch map to norm-preserving Landau--Lifshitz flows. Training over graph weights and topology is formulated as stochastic optimization on a stratified moduli space of graphs equipped with a natural K\"{a}hler--Hessian metric, ensuring convergence and differentiability across strata. We derive generalization bounds -- PAC-Bayes, stability, and Rademacher complexity -- in terms of geometric quantities such as edge count, maximal degree, and Gromov--Hausdorff distortion, establishing that sparsity and geometric regularity control capacity. Feed-forward composition of stationary layers is proven equivalent to a single global stationary diffusion on a supra-graph; backpropagation is its adjoint stationary system. Finally, directed and vector-valued extensions are represented as sheaf Laplacians with unitary connections, unifying scalar graph, directed, and sheaf-based architectures. The resulting model class provides a compact, geometrically interpretable, and analytically tractable foundation for learning latent graph geometry via fixed-point Schr\"odinger-type activations.
- Abstract（参考訳）: 我々は、学習された潜在グラフ上の散逸的シュリンガー型ダイナミクスの定常状態として内部表現が進化するニューラルアーキテクチャの統一的理論的枠組みを開発する。
各層は、潜在幾何学と凸局所ポテンシャルを符号化する重み付きラプラシア式に依存する固定点Schr\"odinger型方程式によって定義される。
我々は、平衡の存在、一意性、滑らかな依存を証明し、この力学がブロッホ写像の下でノルム保存ランダウ-リフシッツフローに等しいことを示す。グラフウェイトとトポロジーのトレーニングは、自然な K\"{a}hler--Hessian 計量を持つグラフの成層的モジュライ空間上の確率的最適化として定式化され、成層間の収束と微分性を保証する。
我々は、辺数、最大等級、グロモフ-ハウスドルフ歪みといった幾何量の観点から、一般化境界(PAC-Bayes, stability, Rademacher complexity)を導出し、空間性と幾何正則性制御能力を確立する。
静止層のフィードフォワード組成は、上図上の1つの大域定常拡散と同値であることが証明されている。
最後に、有向およびベクトル値拡張は、単体接続、スカラーグラフの統一、有向および層ベースアーキテクチャを持つ層ラプラシアンとして表現される。
結果として得られるモデルクラスは、固定点 Schr\"odinger 型のアクティベーションを通して潜在グラフ幾何学を学ぶためのコンパクトで幾何学的に解釈可能で解析的に抽出可能な基礎を提供する。
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