論文の概要: Critical Points of Degenerate Metrics on Algebraic Varieties: A Tale of Overparametrization

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.21029v1
• Date: Wed, 24 Dec 2025 07:52:23 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-25 19:43:21.72424
• Title: Critical Points of Degenerate Metrics on Algebraic Varieties: A Tale of Overparametrization
• Title（参考訳）: 代数的変種における退化計量の臨界点:過パラメトリゼーションの物語
• Authors: Giovanni Luca Marchetti, Erin Connelly, Paul Breiding, Kathlén Kohn,
• Abstract要約: 縮退する二次目的量によって定義される最適化問題の代数多様体上の臨界点について検討する。 本研究の主な成果は、退化最適化問題を射影による非退化問題に関連付けるものである。 射影多様体の臨界点数を数えるツールを提供し、深層学習による特定の事例について議論する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 5.869449310299287
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We study the critical points over an algebraic variety of an optimization problem defined by a quadratic objective that is degenerate. This scenario arises in machine learning when the dataset size is small with respect to the model, and is typically referred to as overparametrization. Our main result relates the degenerate optimization problem to a nondegenerate one via a projection. In the highly-degenerate regime, we find that a central role is played by the ramification locus of the projection. Additionally, we provide tools for counting the number of critical points over projective varieties, and discuss specific cases arising from deep learning. Our work bridges tools from algebraic geometry with ideas from machine learning, and it extends the line of literature around the Euclidean distance degree to the degenerate setting.
• Abstract（参考訳）: 縮退する二次目的量によって定義される最適化問題の代数多様体上の臨界点について検討する。 このシナリオは、データセットのサイズがモデルに対して小さく、通常オーバーパラメトリゼーション(overparametrization)と呼ばれる場合、機械学習で発生する。 本研究の主な成果は、退化最適化問題を射影による非退化問題に関連付けるものである。 高退化状態においては、中心的な役割は射影の分岐軌跡によって演じられる。 さらに,射影多様体の臨界点数を数えるツールを提供し,深層学習による特定の事例について議論する。 我々の研究は、ツールを代数幾何学から機械学習のアイデアにブリッジし、ユークリッド距離の周りにある文学の行を退化設定へと拡張する。

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