論文の概要: The Geometry of the Pivot: A Note on Lazy Pivoted Cholesky and Farthest Point Sampling

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.03706v2
• Date: Thu, 08 Jan 2026 12:49:45 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-09 13:05:36.780324
• Title: The Geometry of the Pivot: A Note on Lazy Pivoted Cholesky and Farthest Point Sampling
• Title（参考訳）: ピロリの幾何学:ラジッドピロリコレスキーとFarthest Point Smplingについて
• Authors: Gil Shabat,
• Abstract要約: Pivoted Cholesky分解はこのタスクの標準ツールである。 再現ケルネルヒルベルト空間におけるアルゴリズムの幾何学的解釈を解明する。 我々は,理論と実践のギャップを埋めるために,簡潔な導出と最小限のPython実装を提供する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: Low-rank approximations of large kernel matrices are ubiquitous in machine learning, particularly for scaling Gaussian Processes to massive datasets. The Pivoted Cholesky decomposition is a standard tool for this task, offering a computationally efficient, greedy low-rank approximation. While its algebraic properties are well-documented in numerical linear algebra, its geometric intuition within the context of kernel methods often remains obscure. In this note, we elucidate the geometric interpretation of the algorithm within the Reproducing Kernel Hilbert Space (RKHS). We demonstrate that the pivotal selection step is mathematically equivalent to Farthest Point Sampling (FPS) using the kernel metric, and that the Cholesky factor construction is an implicit Gram-Schmidt orthogonalization. We provide a concise derivation and a minimalist Python implementation to bridge the gap between theory and practice.
• Abstract（参考訳）: 大規模なカーネル行列の低ランク近似は機械学習において、特にガウス過程を大規模データセットに拡張するためにユビキタスである。 Pivoted Cholesky分解はこのタスクの標準的なツールであり、計算効率が良く、グレディな低ランク近似を提供する。 その代数的性質は数値線型代数においてよく文書化されているが、カーネルメソッドの文脈における幾何学的直観は、しばしばあいまいである。 本稿では,再現カーネルヒルベルト空間(RKHS)におけるアルゴリズムの幾何学的解釈を解明する。 我々は、中心選択ステップがカーネル計量を用いてFPS(Farthest Point Sampling)と数学的に等価であることを示し、Colesky因子の構成は暗黙のGram-Schmidt直交化であることを示した。 我々は,理論と実践のギャップを埋めるために,簡潔な導出と最小限のPython実装を提供する。

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