論文の概要: Variationally correct operator learning: Reduced basis neural operator with a posteriori error estimation

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.21319v1
• Date: Wed, 24 Dec 2025 18:37:59 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-25 19:43:21.847061
• Title: Variationally correct operator learning: Reduced basis neural operator with a posteriori error estimation
• Title（参考訳）: 変分正しい演算子学習:後部誤差推定を用いた減量基底ニューラル演算子
• Authors: Yuan Qiu, Wolfgang Dahmen, Peng Chen,
• Abstract要約: PDE-残留損失の最小化は、ニューラル演算子の物理的一貫性を促進するための一般的な戦略である。 本研究は,FOSLS(Fon-order system least-squares)の目的を定式化することによって,変分正しい演算子学習フレームワークを開発する。 本稿では,有限要素の離散化バイアス,ベーストランケーション誤差の低減,ニューラルネットワーク近似誤差,統計的推定誤差の和で総誤差を束縛する厳密な収束解析を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.8135482236014133
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Minimizing PDE-residual losses is a common strategy to promote physical consistency in neural operators. However, standard formulations often lack variational correctness, meaning that small residuals do not guarantee small solution errors due to the use of non-compliant norms or ad hoc penalty terms for boundary conditions. This work develops a variationally correct operator learning framework by constructing first-order system least-squares (FOSLS) objectives whose values are provably equivalent to the solution error in PDE-induced norms. We demonstrate this framework on stationary diffusion and linear elasticity, incorporating mixed Dirichlet-Neumann boundary conditions via variational lifts to preserve norm equivalence without inconsistent penalties. To ensure the function space conformity required by the FOSLS loss, we propose a Reduced Basis Neural Operator (RBNO). The RBNO predicts coefficients for a pre-computed, conforming reduced basis, thereby ensuring variational stability by design while enabling efficient training. We provide a rigorous convergence analysis that bounds the total error by the sum of finite element discretization bias, reduced basis truncation error, neural network approximation error, and statistical estimation errors arising from finite sampling and optimization. Numerical benchmarks validate these theoretical bounds and demonstrate that the proposed approach achieves superior accuracy in PDE-compliant norms compared to standard baselines, while the residual loss serves as a reliable, computable a posteriori error estimator.
• Abstract（参考訳）: PDE-残留損失の最小化は、ニューラル演算子の物理的一貫性を促進するための一般的な戦略である。 しかし、標準定式化はしばしば変分正当性に欠けており、つまり、小さな残差が境界条件に対する非準拠のノルムや副ホックのペナルティ項を使用するため、小さな解誤差を保証しないことを意味する。 本研究は、PDE誘導ノルムの解誤差と証明可能な値を持つ一階システム最小二乗(FOSLS)目標を構築することにより、変動的に正しい演算子学習フレームワークを開発する。 定常拡散と線形弾性に関するこの枠組みを,不整合なペナルティを伴わないノルム等価性を維持するために,変分リフトによる混合ディリクレ・ノイマン境界条件を組み込んだ。 FOSLS損失による関数空間の整合性を確保するため,RBNO(Reduced Basis Neural Operator)を提案する。 RBNOは、事前計算された基本値に適合する係数を予測し、効率的なトレーニングを可能とし、設計による変動安定性を確保する。 本稿では,有限要素の離散化バイアス,ベーストランケーション誤差の低減,ニューラルネットワーク近似誤差,有限サンプリングと最適化による統計的推定誤差の和で総誤差を束縛する厳密な収束解析を提案する。 数値ベンチマークはこれらの理論的境界を検証し,提案手法が標準ベースラインよりもPDE準拠ノルムの方が精度が高いことを示す一方で,残余損失は信頼性が高く計算可能な後部誤差推定器として機能することを示した。

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