論文の概要: Accelerating PDE Solvers with Equation-Recast Neural Operator Preconditioning

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2509.01416v1
• Date: Mon, 01 Sep 2025 12:14:58 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-04 15:17:03.683766
• Title: Accelerating PDE Solvers with Equation-Recast Neural Operator Preconditioning
• Title（参考訳）: 方程式リキャスト型ニューラル演算子プレコンディショニングによるPDE解の高速化
• Authors: Qiyun Cheng, Md Hossain Sahadath, Huihua Yang, Shaowu Pan, Wei Ji,
• Abstract要約: Minimal-Data Parametric Neural Operator Preconditioning (MD-PNOP) はパラメトリックPDEソルバを高速化するための新しいパラダイムである。 パラメータ偏差の残差を、トレーニングされたニューラル演算子を使用して、オフラインでソリューションを洗練させる、追加のソース用語として再キャストする。 固定ソース、単一グループ固有値、および多群結合固有値問題に対する完全順序忠実度を維持しつつ、計算時間の50%削減を一貫して達成する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 9.178290601589365
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The computational overhead of traditional numerical solvers for partial differential equations (PDEs) remains a critical bottleneck for large-scale parametric studies and design optimization. We introduce a Minimal-Data Parametric Neural Operator Preconditioning (MD-PNOP) framework, which establishes a new paradigm for accelerating parametric PDE solvers while strictly preserving physical constraints. The key idea is to recast the residual from parameter deviation as additional source term, where any trained neural operator can be used to refine the solution in an offline fashion. This directly addresses the fundamental extrapolation limitation of neural operators, enabling extrapolative generalization of any neural operator trained at a single parameter setting across a wide range of configurations without any retraining. The neural operator predictions are then embedded into iterative PDE solvers as improved initial guesses, thereby reducing convergence iterations without sacrificing accuracy. Unlike purely data-driven approaches, MD-PNOP guarantees that the governing equations remain fully enforced, eliminating concerns about loss of physics or interpretability. The framework is architecture-agnostic and is demonstrated using both Deep Operator Networks (DeepONet) and Fourier Neural Operators (FNO) for Boltzmann transport equation solvers in neutron transport applications. We demonstrated that neural operators trained on a single set of constant parameters successfully accelerate solutions with heterogeneous, sinusoidal, and discontinuous parameter distributions. Besides, MD-PNOP consistently achieves ~50% reduction in computational time while maintaining full order fidelity for fixed-source, single-group eigenvalue, and multigroup coupled eigenvalue problems.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)に対する従来の数値解法の計算オーバーヘッドは、大規模パラメトリック研究や設計最適化において重要なボトルネックとなっている。 物理制約を厳格に保ちながらパラメトリックPDEソルバを高速化するための新しいパラダイムを確立する,MD-PNOP(Minimmal-Data Parametric Neural Operator Preconditioning)フレームワークを導入する。 鍵となるアイデアは、パラメータ偏差からの残差を追加のソース用語として再キャストすることであり、トレーニングされたニューラル演算子を使用して、オフラインでソリューションを洗練することができる。 これは、ニューラル演算子の基本的な外挿制限に直接対処し、リトレーニングなしで幅広い構成で訓練された単一パラメータ設定で訓練されたニューラル演算子の外挿一般化を可能にする。 ニューラル演算子の予測は、初期推定を改善するために反復的なPDEソルバに埋め込まれ、精度を犠牲にすることなく収束反復を低減する。 純粋にデータ駆動のアプローチとは異なり、MD-PNOPは、支配方程式が完全に強制されることを保証し、物理学の損失や解釈可能性に関する懸念を取り除く。 このフレームワークはアーキテクチャに依存しず、中性子輸送応用におけるボルツマン輸送方程式の解法としてディープ・オペレーター・ネットワーク(DeepONet)とフーリエ・ニューラル・オペレーター(FNO)の両方を用いて実証されている。 我々は,一組の定数パラメータで訓練したニューラル演算子が,不均一,正弦波,不連続パラメータ分布による解の高速化に成功したことを実証した。 さらに、MD-PNOPは、固定ソース、単一グループ固有値、および多重グループ結合固有値問題に対する完全順序忠実度を維持しながら、計算時間の約50%の削減を一貫して達成する。

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