論文の概要: Non-Asymptotic Stability and Consistency Guarantees for Physics-Informed Neural Networks via Coercive Operator Analysis

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2506.13554v2
• Date: Wed, 03 Sep 2025 04:37:00 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-09-04 17:24:09.185345
• Title: Non-Asymptotic Stability and Consistency Guarantees for Physics-Informed Neural Networks via Coercive Operator Analysis
• Title（参考訳）: 強制演算子解析による物理インフォームドニューラルネットワークの非漸近安定性と一貫性保証
• Authors: Ronald Katende,
• Abstract要約: 物理インフォームドニューラルネットワーク(PINN)の安定性と一貫性を解析するための統一的理論的枠組みを提案する。 PINNは、サンプルコロケーションと境界点上の残留損失を最小限に抑え、偏微分方程式(PDE)の近似解を求める。 我々は、整合性の作用素レベルと変分の概念の両方を形式化し、ソボレフノルムの残留最小化が、穏やかな正則性の下でエネルギーと一様ノルムの収束をもたらすことを証明した。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We present a unified theoretical framework for analyzing the stability and consistency of Physics-Informed Neural Networks (PINNs), grounded in operator coercivity, variational formulations, and non-asymptotic perturbation theory. PINNs approximate solutions to partial differential equations (PDEs) by minimizing residual losses over sampled collocation and boundary points. We formalize both operator-level and variational notions of consistency, proving that residual minimization in Sobolev norms leads to convergence in energy and uniform norms under mild regularity. Deterministic stability bounds quantify how bounded perturbations to the network outputs propagate through the full composite loss, while probabilistic concentration results via McDiarmid's inequality yield sample complexity guarantees for residual-based generalization. A unified generalization bound links residual consistency, projection error, and perturbation sensitivity. Empirical results on elliptic, parabolic, and nonlinear PDEs confirm the predictive accuracy of our theoretical bounds across regimes. The framework identifies key structural principles, such as operator coercivity, activation smoothness, and sampling admissibility, that underlie robust and generalizable PINN training, offering principled guidance for the design and analysis of PDE-informed learning systems.
• Abstract（参考訳）: 本稿では, 演算子保磁力, 変分定式化, 非漸近摂動理論を基礎として, 物理情報ニューラルネットワーク(PINN)の安定性と一貫性を解析するための統一理論フレームワークを提案する。 PINNは、サンプルコロケーションと境界点上の残留損失を最小限に抑え、偏微分方程式(PDE)の近似解を導出する。 我々は、整合性の作用素レベルと変分の概念の両方を形式化し、ソボレフノルムの残留最小化が、穏やかな正則性の下でエネルギーと一様ノルムの収束をもたらすことを証明した。 決定論的安定性境界は、ネットワークへの有界摂動が完全な複合損失を通してどのように伝播するかを定量的に表し、一方、マクダイアルミドの不等式による確率的濃度は、残留基底の一般化を保証している。 統一一般化は、残差一貫性、投影誤差、摂動感度をリンクする。 楕円型, 放物型, 非線形PDEの実験的結果から, 我々の理論的境界の予測精度が確認された。 このフレームワークは、PDEインフォームド学習システムの設計と分析のための原則化されたガイダンスを提供する、堅牢で一般化可能なPINNトレーニングの基盤となる演算子保磁力、アクティベーションスムネス、サンプリング許容性などの重要な構造原理を識別する。

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