論文の概要: Poincaré Duality and Multiplicative Structures on Quantum Codes

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.21922v1
• Date: Fri, 26 Dec 2025 08:38:08 GMT
• ステータス: 情報取得中
• システム内更新日: 2025-12-29 12:01:57.670667
• Title: Poincaré Duality and Multiplicative Structures on Quantum Codes
• Title（参考訳）: 量子符号上のポアンカレ双対性と乗法構造
• Authors: Yiming Li, Zimu Li, Zi-Wen Liu, Quynh T. Nguyen,
• Abstract要約: 我々は、$mathrmCmathrmCZ$ゲートと高階制御-$Z$ゲートからなる回路を構築する。 我々は、ほぼ最適なqLDPC層符号上で、フォールトトレラントな非クリフォードゲートを指して、非自明な論理的作用を生成することを予想する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 11.11194917284133
• License:
• Abstract: Quantum LDPC codes have attracted intense interest due to their advantageous properties for realizing efficient fault-tolerant quantum computing. In particular, sheaf codes represent a novel framework that encompasses all well-known good qLDPC codes with profound underlying mathematics. In this work, we generalize Poincaré duality from manifolds to both classical and quantum codes defined via sheaf theory on $t$-dimensional cell complexes. Viewing important code properties including the encoding rate, code distance, local testability soundness, and efficient decoders as parameters of the underlying (co)chain complexes, we rigorously prove a duality relationship between the $i$-th chain and the $(t-i)$-th cochain of sheaf codes. We further build multiplicative structures such as cup and cap products on sheaved chain complexes, inspired by the standard notions of multiplicative structures and Poincaré duality on manifolds. This immediately leads to an explicit isomorphism between (co)homology groups of sheaf codes via a cap product. As an application, we obtain transversal disjoint logical $\mathrm{C}Z$ gates with $k_{\mathrm{C}Z}=Θ(n)$ on families of good qLDPC and almost-good quantum locally testable codes. Moreover, we provide multiple new methods to construct transversal circuits composed of $\mathrm{C}\mathrm{C}Z$ gates as well as for higher order controlled-$Z$ that are provably logical operations on the code space. We conjecture that they generate nontrivial logical actions, pointing towards fault-tolerant non-Clifford gates on nearly optimal qLDPC sheaf codes. Mathematically, our results are built on establishing the equivalence between sheaf cohomology in the derived-functor sense, Čech cohomology, and the cohomology of sheaf codes, thereby introducing new mathematical tools into quantum coding theory.
• Abstract（参考訳）: 量子LDPC符号は、効率的なフォールトトレラント量子コンピューティングを実現するのに有利な性質のため、大きな関心を集めている。 特に、シーフ符号は、よく知られた優れたqLDPC符号と、深い基礎となる数学を含む新しいフレームワークを表す。 この研究では、ポアンカレ双対性を多様体から、$t$次元セル複体上の層理論によって定義される古典的および量子的符号に一般化する。 符号化速度,コード距離,局所的なテスト容易性,効率的なデコーダなどの重要なコード特性を基礎となる(コ)鎖錯体のパラメータとして見ることで,i$-th鎖と(t-i)$-th符号の共鎖との双対性関係を厳密に証明する。 さらに、重鎖錯体上のカップやキャップ積のような乗法構造を構築し、多様体上の乗法構造とポアンカレ双対性という標準概念に着想を得た。 これは直ちに、(共)ホモロジー群の間の(キャップ積による)層コードの明示的な同型へと導かれる。 応用として、よいqLDPCとほぼ高品質な量子局所検定可能符号の族に対して、$k_{\mathrm{C}Z}=\(n)$ の超可逆解論理 $\mathrm{C}Z$ ゲートを得る。 さらに,$\mathrm{C}\mathrm{C}Z$ gates と高次制御-$Z$ からなる超越回路を構築するための複数の新しい手法を提案する。 我々は、ほぼ最適なqLDPC層符号上で、フォールトトレラントな非クリフォードゲートを指して、非自明な論理的作用を生成することを予想する。 数学的には、本研究の結果は、導来ファンクター意味でのシーフコホモロジーとシェフ符号のコホモロジーの等価性を確立し、量子符号化理論に新しい数学的ツールを導入することを目的としている。

関連論文リスト

• A topological theory for qLDPC: non-Clifford gates and magic state fountain on homological product codes with constant rate and beyond the $N^{1/3}$ distance barrier [1.472161528588343]
  量子低密度パリティチェック(qLDPC)符号におけるフォールトトレラント量子計算の位相理論。 我々は、すべてのqLDPCおよびCSSコードに対して、トポロジデータを符号化する隠された単純構造またはCW構造が存在することを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2025-01-31T18:25:24Z)
• Classifying Logical Gates in Quantum Codes via Cohomology Operations and Symmetry [0.0]
  量子符号のための定数深さ回路によって実装されたフォールトトレラント論理ゲートを構築し,分類する。 LDPC符号におけるアドレナブルな論理ゲートと並列な論理ゲートの定式化について述べる。 副産物として、高いポントリャーギン力を用いた有限高次対称性の新しいトポロジカル反応を求める。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-11-24T14:01:37Z)
• Cups and Gates I: Cohomology invariants and logical quantum operations [5.749787074942512]
  微分階数代数の特定の性質を緩和する構造を持つ量子符号の装備方法を示す。 このアプローチから得られる論理ゲートは、一定の深さのユニタリ回路で実装することができる。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-10-21T17:53:17Z)
• Geometric structure and transversal logic of quantum Reed-Muller codes [51.11215560140181]
  本稿では,量子リード・ミュラー符号(RM)のゲートを,古典的特性を利用して特徴付けることを目的とする。 RM符号のための安定化器生成器のセットは、特定の次元のサブキューブに作用する$X$と$Z$演算子によって記述することができる。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-10-10T04:07:24Z)
• SSIP: automated surgery with quantum LDPC codes [55.2480439325792]
  クビットCSSコード間の手術を自動化するための,オープンソースの軽量PythonパッケージであるSSIP(Identifying Pushouts)による安全手術について述べる。 ボンネットの下では、鎖複体の圏における普遍構成によって支配される$mathbbF$上の線型代数を実行する。 高い符号距離を犠牲にすることなく,手術によって様々な論理的測定を安価に行うことができることを示す。
  論文  参考訳（メタデータ） (2024-07-12T16:50:01Z)
• Homological Quantum Rotor Codes: Logical Qubits from Torsion [47.52324012811181]
  ホモロジー量子ローター符号は 論理ローターと論理キューディットを 同一のコードブロックにエンコードできる 0$-$pi$-qubit と Kitaev の現在のミラー量子ビットは、確かにそのような符号の小さな例である。
  論文  参考訳（メタデータ） (2023-03-24T00:29:15Z)

関連論文リストは本サイト内にある論文のタイトル・アブストラクトから自動的に作成しています。

指定された論文の情報です。
本サイトの運営者は本サイト（すべての情報・翻訳含む）の品質を保証せず、本サイト（すべての情報・翻訳含む）を使用して発生したあらゆる結果について一切の責任を負いません。