論文の概要: Learning with the $p$-adics

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2512.22692v1
• Date: Sat, 27 Dec 2025 19:40:42 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-12-30 22:37:30.18022
• Title: Learning with the $p$-adics
• Title（参考訳）: $p$-adicsで学ぶ
• Authors: André F. T. Martins,
• Abstract要約: 我々は、$mathbbR$, $mathbbQ_p$, $mathbbQ_p$の超測度および非アルキメデス空間の代替として、根本的に異なる分野の適合性について研究する。 p$-adicsの階層構造と無限文字列としての解釈は、コード理論と階層的表現学習にとって魅力的なツールである。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 26.431600220740354
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Existing machine learning frameworks operate over the field of real numbers ($\mathbb{R}$) and learn representations in real (Euclidean or Hilbert) vector spaces (e.g., $\mathbb{R}^d$). Their underlying geometric properties align well with intuitive concepts such as linear separability, minimum enclosing balls, and subspace projection; and basic calculus provides a toolbox for learning through gradient-based optimization. But is this the only possible choice? In this paper, we study the suitability of a radically different field as an alternative to $\mathbb{R}$ -- the ultrametric and non-archimedean space of $p$-adic numbers, $\mathbb{Q}_p$. The hierarchical structure of the $p$-adics and their interpretation as infinite strings make them an appealing tool for code theory and hierarchical representation learning. Our exploratory theoretical work establishes the building blocks for classification, regression, and representation learning with the $p$-adics, providing learning models and algorithms. We illustrate how simple Quillian semantic networks can be represented as a compact $p$-adic linear network, a construction which is not possible with the field of reals. We finish by discussing open problems and opportunities for future research enabled by this new framework.
• Abstract（参考訳）: 既存の機械学習フレームワークは実数体($\mathbb{R}$)上で動作し、実(ユークリッドまたはヒルベルト)ベクトル空間における表現(例えば、$\mathbb{R}^d$)を学ぶ。 その基礎となる幾何学的性質は、線形分離性、最小囲み球、部分空間射影といった直感的な概念とよく一致しており、基礎計算は勾配に基づく最適化を通じて学習するためのツールボックスを提供する。 しかし、これが唯一の選択肢なのだろうか? 本稿では、$\mathbb{R}$, $\mathbb{Q}_p$の超計量および非アルキメデス空間の代替として、急激な異なる分野の適合性について検討する。 p$-adicsの階層構造と無限文字列としての解釈は、コード理論と階層的表現学習にとって魅力的なツールである。 我々の探索理論的研究は、分類、回帰、表現学習のためのビルディングブロックを$p$-adicsで確立し、学習モデルとアルゴリズムを提供する。 簡単なQuillian意味ネットワークは、実数体では不可能な構成であるコンパクトな$p$-adic線形ネットワークとして表すことができる。 この新しいフレームワークによって実現される今後の研究の機会とオープンな問題について論じる。

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