論文の概要: An Algebraic Representation Theorem for Linear GENEOs in Geometric Machine Learning
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.03910v1
- Date: Wed, 07 Jan 2026 13:21:44 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-01-08 18:12:46.200357
- Title: An Algebraic Representation Theorem for Linear GENEOs in Geometric Machine Learning
- Title（参考訳）: 幾何学機械学習における線形GAEOの代数的表現理論
- Authors: Francesco Conti, Patrizio Frosini, Nicola Quercioli,
- Abstract要約: 群同変非拡張作用素 (genEOs) は対称性を符号化する強力な作用素のクラスとして登場した。
異なる知覚対の間に作用する線形なgenEOに対する新しい表現定理を導入する。
また、線型genEOsの空間のコンパクト性と凸性も証明する。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.3425748364842416
- License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
- Abstract: Geometric and Topological Deep Learning are rapidly growing research areas that enhance machine learning through the use of geometric and topological structures. Within this framework, Group Equivariant Non-Expansive Operators (GENEOs) have emerged as a powerful class of operators for encoding symmetries and designing efficient, interpretable neural architectures. Originally introduced in Topological Data Analysis, GENEOs have since found applications in Deep Learning as tools for constructing equivariant models with reduced parameter complexity. GENEOs provide a unifying framework bridging Geometric and Topological Deep Learning and include the operator computing persistence diagrams as a special case. Their theoretical foundations rely on group actions, equivariance, and compactness properties of operator spaces, grounding them in algebra and geometry while enabling both mathematical rigor and practical relevance. While a previous representation theorem characterized linear GENEOs acting on data of the same type, many real-world applications require operators between heterogeneous data spaces. In this work, we address this limitation by introducing a new representation theorem for linear GENEOs acting between different perception pairs, based on generalized T-permutant measures. Under mild assumptions on the data domains and group actions, our result provides a complete characterization of such operators. We also prove the compactness and convexity of the space of linear GENEOs. We further demonstrate the practical impact of this theory by applying the proposed framework to improve the performance of autoencoders, highlighting the relevance of GENEOs in modern machine learning applications.
- Abstract（参考訳）: 幾何学的および位相的深層学習は、幾何学的および位相的構造を用いて機械学習を強化する研究領域が急速に成長している。
このフレームワークの中で、グループ同変非拡張演算子(GENEOs)は、対称性を符号化し、効率的な解釈可能なニューラルネットワークを設計するための強力な演算子クラスとして登場した。
もともとトポロジカルデータ分析で導入されたgenEOは、パラメータの複雑さを減らした同変モデルを構築するためのツールとしてDeep Learningに応用されている。
genEOsは、Geometric and Topological Deep Learningをブリッジする統一フレームワークを提供し、特別なケースとして演算子コンピューティング永続化図を含む。
それらの理論的な基礎は、作用素空間の群作用、同値性、コンパクト性に頼り、数学的な厳密さと実践的妥当性を両立させながら、代数と幾何学に基礎を置いている。
以前の表現定理では、同じタイプのデータに作用する線形 GENEO が特徴的であるが、多くの実世界のアプリケーションは不均一なデータ空間間の演算子を必要とする。
本研究では、一般化されたT-置換測度に基づいて、異なる知覚対の間に作用する線形なgenEOに対する新しい表現定理を導入することにより、この制限に対処する。
データドメインとグループアクションに関する軽度な仮定の下で、この結果はそのような演算子の完全な特徴付けを提供する。
また、線型genEOsの空間のコンパクト性と凸性も証明する。
さらに,提案手法を適用し,自動エンコーダの性能向上を図り,現代の機械学習アプリケーションにおけるGENEOの関連性を強調した。
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