論文の概要: A Unified Kantorovich Duality for Multimarginal Optimal Transport

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.17171v1
• Date: Fri, 23 Jan 2026 21:06:46 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-27 15:23:07.318477
• Title: A Unified Kantorovich Duality for Multimarginal Optimal Transport
• Title（参考訳）: マルチマルジナル最適輸送のための統一カントロビッチ双対性
• Authors: Yehya Cheryala, Mokhtar Z. Alaya, Salim Bouzebda,
• Abstract要約: マルチマージ最適輸送(MOT: Multimarginal optimal transport)は、機械学習と統計学の関連性から近年注目を集めている。 本稿では、一般ポーランド積空間上のMOT問題に対する統一的で完全なカントロビッチ双対性理論を提案する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.29771206318712146
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Multimarginal optimal transport (MOT) has gained increasing attention in recent years, notably due to its relevance in machine learning and statistics, where one seeks to jointly compare and align multiple probability distributions. This paper presents a unified and complete Kantorovich duality theory for MOT problem on general Polish product spaces with bounded continuous cost function. For marginal compact spaces, the duality identity is derived through a convex-analytic reformulation, that identifies the dual problem as a Fenchel-Rockafellar conjugate. We obtain dual attainment and show that optimal potentials may always be chosen in the class of $c$-conjugate families, thereby extending classical two-marginal conjugacy principle into a genuinely multimarginal setting. In non-compact setting, where direct compactness arguments are unavailable, we recover duality via a truncation-tightness procedure based on weak compactness of multimarginal transference plans and boundedness of the cost. We prove that the dual value is preserved under restriction to compact subsets and that admissible dual families can be regularized into uniformly bounded $c$-conjugate potentials. The argument relies on a refined use of $c$-splitting sets and their equivalence with multimarginal $c$-cyclical monotonicity. We then obtain dual attainment and exact primal-dual equality for MOT on arbitrary Polish spaces, together with a canonical representation of optimal dual potentials by $c$-conjugacy. These results provide a structural foundation for further developments in probabilistic and statistical analysis of MOT, including stability, differentiability, and asymptotic theory under marginal perturbations.
• Abstract（参考訳）: マルチマルジナル最適輸送(MOT)は、機械学習と統計学の関連性から近年注目を集めており、複数の確率分布を共同で比較、調整することを目指している。 本稿では、連続コスト関数が有界なポーランドの一般積空間上のMOT問題に対する統一的で完全なカントロビッチ双対性理論を提案する。 境界コンパクト空間に対して、双対性恒等性は凸解析的再構成によって導出され、この双対問題をフェンシェル・ロッカフェラー共役(英語版)として識別する。 双対到達を得て、最適ポテンシャルが常に$c$共役族のクラスで選択されることを示し、したがって古典的な二元共役原理を真に多重な設定に拡張する。 直接コンパクト性引数が利用できない非コンパクトな環境では、マルチマージナル転送計画の弱コンパクト性とコストの有界性に基づいて、トランニケーション・タイネス法により双対性を回復する。 双対値はコンパクト部分集合の制限の下で保存され、許容可能な双対族は一様有界な$c$共役ポテンシャルに正規化できることを示す。 この議論は、$c$-スプリッティング集合の洗練された使用法と、その同値性(英語版)(multimarginal $c$-cyclical monotonicity)に依存している。 次に、任意のポーランド空間上のMOTの双対到達と完全原始双対等式、および$c$-共役による最適双対ポテンシャルの正準表現を得る。 これらの結果は、MOTの確率的および統計的解析のさらなる発展のための構造的基盤を提供し、安定性、微分可能性、および限界摂動下での漸近理論を含む。

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