論文の概要: Flow-based Extremal Mathematical Structure Discovery

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2601.18005v1
• Date: Sun, 25 Jan 2026 21:41:47 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-01-27 15:23:08.576586
• Title: Flow-based Extremal Mathematical Structure Discovery
• Title（参考訳）: 流れに基づく極端数学的構造発見
• Authors: Gergely Bérczi, Baran Hashemi, Jonas Klüver,
• Abstract要約: FlowBoostは、希少かつ極端な幾何学構造を発見することを学ぶクローズドループ生成フレームワークである。 4つの幾何学的最適化問題の枠組みを実証する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 1.1087735229999816
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The discovery of extremal structures in mathematics requires navigating vast and nonconvex landscapes where analytical methods offer little guidance and brute-force search becomes intractable. We introduce FlowBoost, a closed-loop generative framework that learns to discover rare and extremal geometric structures by combining three components: (i) a geometry-aware conditional flow-matching model that learns to sample high-quality configurations, (ii) reward-guided policy optimization with action exploration that directly optimizes the generation process toward the objective while maintaining diversity, and (iii) stochastic local search for both training-data generation and final refinement. Unlike prior open-loop approaches, such as PatternBoost that retrains on filtered discrete samples, or AlphaEvolve which relies on frozen Large Language Models (LLMs) as evolutionary mutation operators, FlowBoost enforces geometric feasibility during sampling, and propagates reward signal directly into the generative model, closing the optimization loop and requiring much smaller training sets and shorter training times, and reducing the required outer-loop iterations by orders of magnitude, while eliminating dependence on LLMs. We demonstrate the framework on four geometric optimization problems: sphere packing in hypercubes, circle packing maximizing sum of radii, the Heilbronn triangle problem, and star discrepancy minimization. In several cases, FlowBoost discovers configurations that match or exceed the best known results. For circle packings, we improve the best known lower bounds, surpassing the LLM-based system AlphaEvolve while using substantially fewer computational resources.
• Abstract（参考訳）: 数学における極端構造の発見は、分析手法がほとんどガイダンスを提供しておらず、ブルートフォース探索が難しくなるような広大な非凸の風景をナビゲートする必要がある。 クローズドループ生成フレームワークであるFlowBoostを紹介した。3つのコンポーネントを組み合わせることで、希少かつ極端な幾何学構造を発見することを学ぶ。 (i)高品質な構成のサンプルを学習する幾何学的条件付きフローマッチングモデル。 二 多様性を維持しつつ、目的に向けて生成プロセスを直接最適化する行動探索による報酬誘導政策最適化 三 訓練データ生成と最終改良の双方の確率的局所探索 フィルタされた離散的なサンプルをリトレーニングするPatternBoostや、凍結した大言語モデル(LLM)を進化的突然変異演算子として利用するAlphaEvolveのような従来のオープンループアプローチとは異なり、FlowBoostはサンプリング中の幾何学的実現性を強制し、報酬信号を生成モデルに直接伝播させ、最適化ループを閉じ、より小さなトレーニングセットと短いトレーニング時間を必要とし、LLMへの依存を排除しながら、必要な外ループイテレーションを桁違いに削減する。 本研究では,超キューブにおける球充填,半径の最大化和の最大化,ハイルブロン三角形問題,星差最小化という4つの幾何学的最適化問題の枠組みを実証する。 いくつかのケースでは、FlowBoostは、最もよく知られた結果に一致するか、超える構成を発見する。 円のパッキングでは、LLMベースのAlphaEvolveよりはるかに少ない計算資源を使用しながら、最もよく知られた下界を改善する。

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