論文の概要: Generalized Inverses of Matrix Products: From Fundamental Subspaces to Randomized Decompositions

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2602.00386v1
• Date: Fri, 30 Jan 2026 23:05:18 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-02-03 19:28:33.150677
• Title: Generalized Inverses of Matrix Products: From Fundamental Subspaces to Randomized Decompositions
• Title（参考訳）: 行列生成物の一般化逆:基本部分空間からランダム化分解へ
• Authors: Michał P. Karpowicz, Gilbert Strang,
• Abstract要約: ムーア・ペンローズ擬逆数と行列積$A=CR$の一般化逆数について検討し、一般化およびランダム化された行列逆数の統一的枠組みを確立する。 このフレームワークは一般化された1,12$-逆および特殊形式に拡張され、確立されたランダム化線形代数アルゴリズムの構造を明らかにする。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.2578242050187029
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We investigate the Moore-Penrose pseudoinverse and generalized inverse of a matrix product $A=CR$ to establish a unifying framework for generalized and randomized matrix inverses. This analysis is rooted in first principles, focusing on the geometry of the four fundamental subspaces. We examine: (1) the reverse order law, $A^+ = R^+C^+$, which holds when $C$ has independent columns and $R$ has independent rows, (2) the universally correct formula, $A^+ = (C^+CR)^+(CRR^+)^+$, providing a geometric interpretation of the mappings between the involved subspaces, (3) a new generalized randomized formula, $A^+_p = (P^TA)^+P^TAQ(AQ)^+$, which gives $A^+_p = A^+$ if and only if the sketching matrices $P$ and $Q$ preserve the rank of $A$, i.e., $\mathrm{rank}(P^TA) = \mathrm{rank}(AQ) = \mathrm{rank}(A)$. The framework is extended to generalized $\{1,2\}$-inverses and specialized forms, revealing the underlying structure of established randomized linear algebra algorithms, including randomized SVD, the Nyström approximation, and CUR decomposition. We demonstrate applications in sparse sensor placement and effective resistance estimation. For the latter, we provide a rigorous quantitative analysis of an approximation scheme, establishing that it always underestimates the true resistance and deriving a worst-case spectral bound on the error of resistance differences.
• Abstract（参考訳）: ムーア・ペンローズ擬逆数と行列積$A=CR$の一般化逆数について検討し、一般化およびランダム化された行列逆数の統一的枠組みを確立する。 この解析は4つの基本部分空間の幾何学に焦点をあてた第一原理に根ざしている。 1) 逆順序法、$A^+ = R^+C^+$ は、$C$が独立な列を持ち、$R$ が独立な行を持つときに成り立つ、(2) 普遍的に正しい式、$A^+ = (C^+CR)^+(CRR^+)^+$ は、関係する部分空間間の写像の幾何学的解釈を与える、(3) 新たに一般化されたランダムな公式、$A^+_p = (P^TA)^+P^TAQ(AQ)^+$ は、$A^+_p = A^+$ を与える、そして、スケッチ行列が$P$ と$Q$ が$A$ のランクを保持するときのみである。 このフレームワークは一般化された${1,2\}$-inversesと特殊形式に拡張され、ランダム化されたSVD、Nyström近似、CUR分解を含む確立されたランダム化された線形代数アルゴリズムの基盤構造を明らかにする。 スパースセンサ配置と有効抵抗推定の応用を実証する。 後者の場合、近似スキームの厳密な定量的分析を行い、真の抵抗を常に過小評価し、抵抗差の誤差に縛られた最悪のスペクトルを導出することを確認した。

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