論文の概要: Complexity Bounds for Hamiltonian Simulation in Unitary Representations
- arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.07231v1
- Date: Sat, 07 Mar 2026 14:28:46 GMT
- ステータス: 翻訳完了
- システム内更新日: 2026-03-10 15:13:14.1069
- Title: Complexity Bounds for Hamiltonian Simulation in Unitary Representations
- Title（参考訳）: ユニタリ表現におけるハミルトンシミュレーションの複素性境界
- Authors: Naihuan Jing, Molena Nguyen,
- Abstract要約: We consider the Hamiltonian evolution [ U_X(t) coloneqq (exp(tX)) = et,d(X), qquad tinmathbbR。
最初に、ハミルトニアン (d(X)) がルート空間$mathfrakg_$ の方向に沿ってどのように分布するかを記述する。
我々の主な結果は、各固定(Xinmathfrakg)に対して、そのような定数が存在することを示している。
- 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
- License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
- Abstract: For any unitary representation $ρ$ on a finite-dimensional Hilbert space \(V\) with differential \(dρ: \mathfrak{g} \to \mathfrak{u}(V)\) for the Lie algebra $\mathfrak g$, we consider the Hamiltonian evolution \[ U_X(t) \coloneqq ρ(\exp(tX)) = e^{t\,dρ(X)}, \qquad t\in\mathbb{R}. \] For any complexification $ X_\mathbb{C} = X_0 + \sum\limits_{α\inΔ} x_αE_α$ associated with the root system $Δ$, we introduce the numerical invariants %\emph{root activity} and \emph{root curvature} functionals \begin{align*} \mathcal{A}_p(X) &\coloneqq \Bigl(\sum_{α\inΔ} |x_α|^p \,\|dρ(E_α)\|_{\mathrm{op}}^p\Bigr)^{1/p}, \quad 1\le p<\infty\\ \mathcal{C}(X) &\coloneqq \Bigl(\sum_{α\inΔ} |α(X_0)|^2\,|x_α|^2 \,\|dρ(E_α)\|_{\mathrm{op}}^2\Bigr)^{1/2}, \end{align*} where \(\|\cdot\|_{\mathrm{op}}\) is the operator norm on \(\mathrm{End}(V)\). We first describe how the Hamiltonian \(dρ(X)\) is distributed along the directions of root spaces $\mathfrak{g}_α$. Our main result shows that for each fixed \(X\in\mathfrak{g}\) there exists a constant \(C_X>0\) such that \[ \bigl\| e^{t(dρ(X_0)+dρ(X_{\mathrm{root}}))} - e^{\frac{t}{2}dρ(X_0)} e^{t dρ(X_{\mathrm{root}})} e^{\frac{t}{2}dρ(X_0)} \bigr\|_{\mathrm{op}} \le C_X\,t^{3}\,\bigl(\mathcal{C}(X)+\mathcal{A}_1(X_{\mathrm{root}})\bigr) \] for all sufficiently small \(|t|\). We also introduce a root-gate circuit model and test this on spin$-$chain Hamiltonians on \((\mathbb{C}^2)^{\otimes n}\subset\mathfrak{su}(2^n)\), where root spaces are spanned by matrix units, \(\mathcal{A}_p\), and \(\mathcal{C}\), which gives sharper complexity bounds and dimension$-$free representation$-$theoretic invariants.
- Abstract（参考訳）: リー代数 $\mathfrak g$ に対する微分 \(dρ: \mathfrak{g} \to \mathfrak{u}(V)\) を持つ有限次元ヒルベルト空間 \(V\) 上の任意のユニタリ表現 $ρ$ に対して、ハミルトニアン進化 \[ U_X(t) \coloneqq ρ(\exp(tX)) = e^{t\,dρ(X)}, \qquad t\in\mathbb{R} を考える。
X_\mathbb{C} = X_0 + \sum\limits_{α\inΔ} x_αE_α$ と根系 $Δ$ に付随すると、数値不変量 %\emph{root activity} と \emph{root curvature} 関数 \begin{align*} \mathcal{A}_p(X) &\coloneq \Bigl(\sum_{α\inΔ} |x_α|^p \,\|dρ(E_α)\|_{\mathrm{op}}^p\Bigr)^{1/p} を導入する。
最初に、ハミルトニアン \(dρ(X)\) がルート空間 $\mathfrak{g}_α$ の方向に沿ってどのように分布するかを記述する。
我々の主な結果は、各固定された \(X\in\mathfrak{g}\) に対して、ある定数 \(C_X>0\) {\displaystyle \(C_X>0\) が存在して、すべての小集合に対して \[ \bigl\| e^{t(dρ(X_0)+dρ(X_{\mathrm{root}}))} - e^{\frac{t}{2}dρ(X_0)} e^{t dρ(X_{\mathrm{root}})} e^{\frac{t}{2}dρ(X_0)} \bigr\|_{\mathrm{op}} \le C_X\,t^{3}\,\bigl(\mathcal{C}(X)+\mathcal{A}_1(X_{\mathrm{root}})\bigr \bigr \bigr \\||||\bigr \\|\\\|\|\|\|\|\|\|\|\|\\\\\\| C_X\|_{\mathrm{op}} である。
また、ルートゲート回路モデルを導入し、これをスピン$-$chain Hamiltonians on \((\mathbb{C}^2)^{\otimes n}\subset\mathfrak{su}(2^n)\)上でテストする。
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