論文の概要: Gauge-Equivariant Intrinsic Neural Operators for Geometry-Consistent Learning of Elliptic PDE Maps

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.14734v1
• Date: Mon, 16 Mar 2026 02:10:06 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-17 16:19:35.998135
• Title: Gauge-Equivariant Intrinsic Neural Operators for Geometry-Consistent Learning of Elliptic PDE Maps
• Title（参考訳）: 幾何学-楕円型PDEマップの連続学習のためのゲージ同変固有ニューラル演算子
• Authors: Pengcheng Cheng,
• Abstract要約: 幾何偏微分方程式(PDE)に対するゲージ同変固有ニューラル演算子(GINO)を提案する。 GINOは、幾何依存スペクトルに作用する固有スペクトル乗法を通して楕円解をパラメータ化し、ゲージ-等変非線形性と結合する。 我々は, GINO が低演算子近似誤差, 機械精度ゲージの等値, 構造的計量摂動に対する等剛性, 制約/延長条件下での小さい可換誤差による強いクロスレゾリューション一般化, 正規化された完全/コンパクトな分解タスクにおける構造保存性能を実現することを示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.0
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Learning solution operators of partial differential equations (PDEs) from data has emerged as a promising route to fast surrogate models in multi-query scientific workflows. However, for geometric PDEs whose inputs and outputs transform under changes of local frame (gauge), many existing operator-learning architectures remain representation-dependent, brittle under metric perturbations, and sensitive to discretization changes. We propose Gauge-Equivariant Intrinsic Neural Operators (GINO), a class of neural operators that parameterize elliptic solution maps primarily through intrinsic spectral multipliers acting on geometry-dependent spectra, coupled with gauge-equivariant nonlinearities. This design decouples geometry from learnable functional dependence and enforces consistency under frame transformations. We validate GINO on controlled problems on the flat torus ($\mathbb{T}^2$), where ground-truth resolvent operators and regularized Helmholtz--Hodge decompositions admit closed-form Fourier representations, enabling theory-aligned diagnostics. Across experiments E1--E6, GINO achieves low operator-approximation error, near machine-precision gauge equivariance, robustness to structured metric perturbations, strong cross-resolution generalization with small commutation error under restriction/prolongation, and structure-preserving performance on a regularized exact/coexact decomposition task. Ablations further link the smoothness of the learned spectral multiplier to stability under geometric perturbations. These results suggest that enforcing intrinsic structure and gauge equivariance yields operator surrogates that are more geometry-consistent and discretization-robust for elliptic PDEs on form-valued fields.
• Abstract（参考訳）: データから偏微分方程式(PDE)を学習する解演算子は、マルチクエリの科学ワークフローにおいて高速なサロゲートモデルへの有望な経路として現れてきた。 しかし、入力と出力が局所フレーム(ゲージ)の変化の下で変換される幾何学的PDEでは、既存の演算子学習アーキテクチャの多くは表現依存であり、計量摂動下では不安定であり、離散化に敏感である。 幾何学依存スペクトルに作用する固有スペクトル乗算器とゲージ同変非線形性を組み合わせた楕円型解写像をパラメータ化するニューラルネットワークのクラスであるGauge-Equivariant Intrinsic Neural Operators (GINO)を提案する。 この設計は、幾何学を学習可能な関数依存から切り離し、フレーム変換の下で一貫性を強制する。 グラウンドトルース分解作用素と正規化ヘルムホルツ-ホッジ分解が閉形式フーリエ表現を許容し、理論整合診断を可能にするような平面トーラス(\mathbb{T}^2$)上の制御問題に対してGINOを検証する。 実験E1--E6において、GINOは低演算子近似誤差、近接機械精度ゲージの等価性、構造化されたメートル法摂動に対する頑健性、制限/伸長による小さな通勤誤差による強いクロスレゾリューション一般化、正規化された正確な/コンパクトな分解タスクにおける構造保存性能を達成する。 アブレーションは、幾何学的摂動下での学習されたスペクトル乗算器の滑らかさと安定性を更に結びつける。 これらの結果は、固有構造とゲージ平衡の強制は、より幾何整合で楕円型PDEに対する離散化ロバストである作用素の代理を、形式値場上で有することを示す。

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