論文の概要: Neural Pushforward Samplers for the Fokker-Planck Equation on Embedded Riemannian Manifolds

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.16239v1
• Date: Tue, 17 Mar 2026 08:24:52 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-18 17:42:07.16787
• Title: Neural Pushforward Samplers for the Fokker-Planck Equation on Embedded Riemannian Manifolds
• Title（参考訳）: 埋め込みリーマン多様体上のフォッカー・プランク方程式に対するニューラルプッシュフォワードサンプリング
• Abstract要約: 我々は、コンパクトで滑らかな埋め込み多様体 M 上のフォッカー・プランク方程式に弱逆ニューラルプッシュフォワード法(WANPF)を拡張する。 安定状態と時間依存の定式化の両方を示し、球面$Sn-1$と平面トーラス$Tn$に対して明示的なLaplace--Beltrami式を導出し、その方法を数値的に示す。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.9762212209762606
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: We extend the Weak Adversarial Neural Pushforward (WANPF) Method to the Fokker--Planck equation posed on a compact, smoothly embedded Riemannian manifold M in $R^n$. The key observation is that the weak formulation of the Fokker--Planck equation, together with the ambient-space representation of the Laplace--Beltrami operator via the tangential projection $P(x)$ and the mean-curvature vector $H(x)$, permits all integrals to be evaluated as expectations over samples lying on M, using test functions defined globally on $R^n$. A neural pushforward map is constrained to map the support of a base distribution into M at all times through a manifold retraction, so that probability conservation and manifold membership are enforced by construction. Adversarial ambient plane-wave test functions are chosen, and their Laplace--Beltrami operators are derived in closed form, enabling autodiff-free, mesh-free training. We present both a steady-state and a time-dependent formulation, derive explicit Laplace--Beltrami formulae for the sphere $S^{n-1}$ and the flat torus $T^n$, and demonstrate the method numerically on a double-well steady-state Fokker--Planck equation on $S^2$.
• Abstract（参考訳）: キーとなる観測は、Fokker-Planck方程式の弱定式化と、接射影 $P(x)$ と平均曲率ベクトル $H(x)$ によってラプラス-ベルトラミ作用素の周囲空間表現と、M 上の標本上の期待値として評価されるすべての積分を、$R^n$ でグローバルに定義されるテスト関数を用いて、コンパクトで滑らかに埋め込まれたリーマン多様体 M 上に作用するフォッカー-プランク方程式に拡張する。 ニューラルネットワークのプッシュフォワード写像は、基本分布の M へのサポートを常に多様体の引き抜きを通じてマッピングするために制約されるので、確率保存と多様体のメンバーシップは構成によって強制される。 対向平面波動試験関数が選択され、ラプラス-ベルトラミ作用素は閉形式で導出され、オートディフフリーでメッシュフリーな訓練を可能にする。 安定状態と時間依存の定式化の両方を示し、球面$S^{n-1}$と平坦トーラス$T^n$に対して明示的なラプラス-ベルトラミ式を導出し、この方法をS^2$上の二重井戸定常フォッカー-プランク方程式で数値的に示す。

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