論文の概要: Deep Hilbert--Galerkin Methods for Infinite-Dimensional PDEs and Optimal Control

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.19463v1
• Date: Thu, 19 Mar 2026 20:53:20 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-23 19:48:38.88173
• Title: Deep Hilbert--Galerkin Methods for Infinite-Dimensional PDEs and Optimal Control
• Title（参考訳）: 無限次元PDEのディープヒルベルト-ゲーラーキン法と最適制御
• Authors: Samuel N. Cohen, Filippo de Feo, Jackson Hebner, Justin Sirignano,
• Abstract要約: 我々は,Hilbert-Galerkin Neural Operators (HGNOs) を用いたパラメータ化解を用いて,無限次元制御のためのHJB方程式のような分離可能なヒルベルト空間上の完全非線形二階PDEのディープラーニングに基づく近似法を開発した。 完全非線形作用素上のヘッセン項の新しい位相とそれに対応する新しい連続性仮定に基づいて、これらの問題に対処するのに十分強力な最初の普遍近似定理(UAT)を証明する。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 2.421910312262742
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We develop deep learning-based approximation methods for fully nonlinear second-order PDEs on separable Hilbert spaces, such as HJB equations for infinite-dimensional control, by parameterizing solutions via Hilbert--Galerkin Neural Operators (HGNOs). We prove the first Universal Approximation Theorems (UATs) which are sufficiently powerful to address these problems, based on novel topologies for Hessian terms and corresponding novel continuity assumptions on the fully nonlinear operator. These topologies are non-sequential and non-metrizable, making the problem delicate. In particular, we prove UATs for functions on Hilbert spaces, together with their Fréchet derivatives up to second order, and for unbounded operators applied to the first derivative, ensuring that HGNOs are able to approximate all the PDE terms. For control problems, we further prove UATs for optimal feedback controls in terms of our approximating value function HGNO. We develop numerical training methods, which we call Deep Hilbert--Galerkin and Hilbert Actor-Critic (reinforcement learning) Methods, for these problems by minimizing the $L^2_μ(H)$-norm of the residual of the PDE on the whole Hilbert space, not just a projected PDE to finite dimensions. This is the first paper to propose such an approach. The models considered arise in many applied sciences, such as functional differential equations in physics and Kolmogorov and HJB PDEs related to controlled PDEs, SPDEs, path-dependent systems, partially observed stochastic systems, and mean-field SDEs. We numerically solve examples of Kolmogorov and HJB PDEs related to the optimal control of deterministic and stochastic heat and Burgers' equations, demonstrating the promise of our deep learning-based approach.
• Abstract（参考訳）: 本研究では,Hilbert-Galerkin Neural Operators (HGNOs) を用いたパラメータ化法を用いて,HJB方程式などの分離可能なヒルベルト空間上の完全非線形二階PDEの深層学習に基づく近似法を開発した。 完全非線形作用素上のヘッセン項の新しい位相とそれに対応する新しい連続性仮定に基づいて、これらの問題に対処するのに十分強力な最初の普遍近似定理(UAT)を証明する。 これらのトポロジは逐次的でなく、計量不可能であり、問題を繊細にしている。 特に、ヒルベルト空間上の函数に対して UAT を証明し、フレシェ微分とともに第1微分に適用される非有界作用素に対して HGNO がすべての PDE 項を近似できることを保証する。 制御問題に対しては,評価値関数HGNOの観点から,最適フィードバック制御のためのUATをさらに証明する。 我々は、ヒルベルト空間全体における PDE の残差の$L^2_μ(H)$-ノルムを有限次元への射影 PDE だけでなく最小化することにより、これらの問題に対してDeep Hilbert--Galerkin と Hilbert Actor-Critic (強化学習) と呼ばれる数値訓練法を開発する。 これはそのようなアプローチを提案する最初の論文である。 物理における関数微分方程式やコルモゴロフや、制御されたPDE、SPDE、経路依存系、部分的に観察された確率系、平均場SDEに関連するHJB PDEなど、多くの応用科学で考察されるモデルが存在する。 我々は,決定論的および確率的熱とバーガースの方程式の最適制御に関連するコルモゴロフとHJB PDEの例を数値的に解き,深層学習に基づくアプローチの可能性を実証する。

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