論文の概要: Tensor Gaussian Processes: Efficient Solvers for Nonlinear PDEs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2510.13772v1
• Date: Wed, 15 Oct 2025 17:23:21 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2025-10-16 20:13:28.788817
• Title: Tensor Gaussian Processes: Efficient Solvers for Nonlinear PDEs
• Title（参考訳）: テンソルガウス過程:非線形PDEの効率的な解法
• Authors: Qiwei Yuan, Zhitong Xu, Yinghao Chen, Yiming Xu, Houman Owhadi, Shandian Zhe,
• Abstract要約: TGPSは偏微分方程式の機械学習解法である。 1次元GPの集合を学習する作業を減らす。 既存の手法に比べて精度と効率が優れている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 16.38975732337055
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: Machine learning solvers for partial differential equations (PDEs) have attracted growing interest. However, most existing approaches, such as neural network solvers, rely on stochastic training, which is inefficient and typically requires a great many training epochs. Gaussian process (GP)/kernel-based solvers, while mathematical principled, suffer from scalability issues when handling large numbers of collocation points often needed for challenging or higher-dimensional PDEs. To overcome these limitations, we propose TGPS, a tensor-GP-based solver that models factor functions along each input dimension using one-dimensional GPs and combines them via tensor decomposition to approximate the full solution. This design reduces the task to learning a collection of one-dimensional GPs, substantially lowering computational complexity, and enabling scalability to massive collocation sets. For efficient nonlinear PDE solving, we use a partial freezing strategy and Newton's method to linerize the nonlinear terms. We then develop an alternating least squares (ALS) approach that admits closed-form updates, thereby substantially enhancing the training efficiency. We establish theoretical guarantees on the expressivity of our model, together with convergence proof and error analysis under standard regularity assumptions. Experiments on several benchmark PDEs demonstrate that our method achieves superior accuracy and efficiency compared to existing approaches.
• Abstract（参考訳）: 偏微分方程式(PDE)に対する機械学習の解法が注目されている。 しかし、ニューラルネットワークソルバのような既存のアプローチのほとんどは確率的トレーニングに依存しており、これは非効率であり、典型的には多くの訓練エポックを必要とする。 ガウス過程(GP)/カーネルベースの解法は数学的原理ではあるものの、挑戦的あるいは高次元PDEに必要な多数のコロケーションポイントを扱う場合、スケーラビリティの問題に悩まされる。 これらの制限を克服するため、TGPSは1次元GPを用いて各入力次元に沿って関数をモデル化し、テンソル分解によってそれらを結合して全解を近似するテンソルGPベースの解法である。 この設計により、一次元GPの集合を学習するタスクを削減し、計算複雑性を大幅に低減し、大規模なコロケーションセットへのスケーラビリティを実現する。 効率的な非線形PDE解法では、部分凍結戦略とニュートン法を用いて非線形項を線形化する。 次に、クローズドフォーム更新を許容する交代最小二乗(ALS)アプローチを開発し、トレーニング効率を大幅に向上させる。 我々は,標準正則性仮定の下での収束証明と誤り解析とともに,モデルの表現性に関する理論的保証を確立する。 いくつかのベンチマークPDE実験により,本手法は既存手法と比較して精度と効率が優れていることが示された。

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