論文の概要: A Theory of Nonparametric Covariance Function Estimation for Discretely Observed Data

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.23302v1
• Date: Tue, 24 Mar 2026 15:04:13 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-25 19:53:37.55107
• Title: A Theory of Nonparametric Covariance Function Estimation for Discretely Observed Data
• Title（参考訳）: 離散観測データに対する非パラメトリック共分散関数推定の理論
• Authors: Yoshikazu Terada, Atsutomo Yara,
• Abstract要約: 我々は,$d$次元領域上の離散的な位置における雑音で観測された関数データの非パラメトリック共分散関数推定について検討した。 深層学習推定器は、最小値の確率を多対数因子に到達させる。 しかし、構造化関数クラスでは、深層学習推定器はポリ対数因子までミニマックス速度を達成できる。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 0.042970700836450486
• License: http://arxiv.org/licenses/nonexclusive-distrib/1.0/
• Abstract: We study nonparametric covariance function estimation for functional data observed with noise at discrete locations on a $d$-dimensional domain. Estimating the covariance function from discretely observed data is a challenging nonparametric problem, particularly in multidimensional settings, since the covariance function is defined on a product domain and thus suffers from the curse of dimensionality. This motivates the use of adaptive estimators, such as deep learning estimators. However, existing theoretical results are largely limited to estimators with explicit analytic representations, and the properties of general learning-based estimators remain poorly understood. We establish an oracle inequality for a broad class of learning-based estimators that applies to both sparse and dense observation regimes in a unified manner, and derive convergence rates for deep learning estimators over several classes of covariance functions. The resulting rates suggest that structural adaptation can mitigate the curse of dimensionality, similarly to classical nonparametric regression. We further compare the convergence rates of learning-based estimators with several existing procedures. For a one-dimensional smoothness class, deep learning estimators are suboptimal, whereas local linear smoothing estimators achieve a faster rate. For a structured function class, however, deep learning estimators attain the minimax rate up to polylogarithmic factors, whereas local linear smoothing estimators are suboptimal. These results reveal a distinctive adaptivity-variance trade-off in covariance function estimation.
• Abstract（参考訳）: 我々は,$d$次元領域上の離散的な位置における雑音で観測された関数データの非パラメトリック共分散関数推定について検討した。 離散的に観測されたデータから共分散関数を推定することは、特に多次元の設定において困難な非パラメトリック問題である。 これは、ディープラーニング推定器のような適応的推定器の使用を動機付けている。 しかし、既存の理論的結果は明示的な解析的表現を持つ推定器に限られており、一般学習に基づく推定器の特性はよく分かっていない。 我々は, 疎密な観測系と密接な観測系の両方に統一的な方法で適用可能な, 広範囲な学習に基づく推定器のオラクル不等式を確立し, 複数種類の共分散関数に対する深層学習推定器の収束率を導出する。 結果として、構造的適応は古典的な非パラメトリック回帰と同様に、次元性の呪いを軽減することができることが示唆される。 さらに,学習に基づく推定器の収束率と既存手法との比較を行った。 一次元滑らか度クラスでは、深層学習推定器は最適以下であるのに対し、局所線形滑らか度推定器はより高速である。 しかし、構造化関数クラスでは、深層学習推定器は最小値の最大値が多相因子に到達し、局所線形滑らか化推定器は準最適である。 これらの結果から,共分散関数推定における適応性-分散トレードオフが明らかとなった。

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