論文の概要: Static and Dynamic Approaches to Computing Barycenters of Probability Measures on Graphs

• arxiv url: http://arxiv.org/abs/2603.26940v1
• Date: Fri, 27 Mar 2026 19:29:28 GMT
• ステータス: 翻訳完了
• システム内更新日: 2026-03-31 23:18:44.703136
• Title: Static and Dynamic Approaches to Computing Barycenters of Probability Measures on Graphs
• Title（参考訳）: グラフ上の確率指標のバリーセンター計算への静的および動的アプローチ
• Authors: David Gentile, James M. Murphy,
• Abstract要約: 最適輸送問題は、測度の重み付き平均(バリ中心)の定義につながる確率測度の幾何学を定義する。 ここでは,古典的最適輸送幾何が縮退するグラフ上で支援された測度に対して,偏心符号化モデルを実装する。 確率単純性に関する本質的な勾配降下は、グラフ上で支持される測度を合成および解析するためのコヒーレントな枠組みを提供すると結論付けている。
• 参考スコア（独自算出の注目度）: 3.702642055407484
• License: http://creativecommons.org/licenses/by/4.0/
• Abstract: The optimal transportation problem defines a geometry of probability measures which leads to a definition for weighted averages (barycenters) of measures, finding application in the machine learning and computer vision communities as a signal processing tool. Here, we implement a barycentric coding model for measures which are supported on a graph, a context in which the classical optimal transport geometry becomes degenerate, by leveraging a Riemannian structure on the simplex induced by a dynamic formulation of the optimal transport problem. We approximate the exponential mapping associated to the Riemannian structure, as well as its inverse, by utilizing past approaches which compute action minimizing curves in order to numerically approximate transport distances for measures supported on discrete spaces. Intrinsic gradient descent is then used to synthesize barycenters, wherein gradients of a variance functional are computed by approximating geodesic curves between the current iterate and the reference measures; iterates are then pushed forward via a discretization of the continuity equation. Analysis of measures with respect to given dictionary of references is performed by solving a quadratic program formed by computing geodesics between target and reference measures. We compare our novel approach to one based on entropic regularization of the static formulation of the optimal transport problem where the graph structure is encoded via graph distance functions, we present numerical experiments validating our approach, and we conclude that intrinsic gradient descent on the probability simplex provides a coherent framework for the synthesis and analysis of measures supported on graphs.
• Abstract（参考訳）: 最適輸送問題は、測度の重み付け平均(バリセンター)の定義につながる確率測度の幾何学を定義し、信号処理ツールとして機械学習とコンピュータビジョンのコミュニティに応用を見出す。 ここでは、最適輸送問題の動的定式化によって誘導される単純体上のリーマン構造を利用して、古典的最適輸送幾何学が退化する文脈であるグラフ上で支持される測度に対して、偏心符号モデルを実装する。 我々は、離散空間上の測度に対する輸送距離を数値的に近似するために、曲線を最小化する作用を計算するための過去のアプローチを利用することにより、リーマン構造に関連する指数写像をその逆と近似する。 固有勾配降下は、偏微分関数の勾配を現在のイテレートと基準測度の間の測地曲線を近似することで計算し、その後連続性方程式の離散化によって、イテレートを前進させる。 対象測度と基準測度の間の測地線を計算した二次プログラムを解くことにより、基準測度に関する測度の分析を行う。 我々は,グラフ構造がグラフ距離関数によって符号化される最適輸送問題の静的定式化のエントロピー正規化に基づく手法と比較し,本手法を検証した数値実験を行い,確率単純度に基づく内在勾配勾配は,グラフに支持される測度を合成・解析するための一貫性のある枠組みを提供すると結論付けた。

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